elnumerodeoro
Por inducción
p(n) : 9 | n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3
Verificaremos
1) Para n = 1
p(1): 9 | 1^3 + 2^3 + 3^3 = 36 . Se cumple.
2) Para n = k cualquier k Hipótesis inductiva
p(k): 9 | k^3 + (k + 1)^3 + (k + 2)^3 Hipótesis inductiva
\xRightarrow{¿ ?}
p(k + 1): 9 | (k + 1)^3 + (k + 2)^3 + (k + 3)^3 Tesis inductiva
Veamos
(k + 1)^3 + (k + 2)^3 + (k + 3)^3 = \underbrace{(k + 1)^3 + (k + 2)^3 + k^3} + 3\cdot k^2\cdot 3 + 3 \cdot k \cdot 3^2 + 3^3
\qquad \qquad \qquad \qquad \hspace{120pt} divisible por 9
y tenemos que
3\cdot k^2\cdot 3 + 3 \cdot k \cdot 3^2 + 3^3 = 9(k^2 + 3k + 3) obviamente divisible por 9
Por lo tanto
p(n) : 9 | n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 es verdadera \forall n \in \mathbb{N}.
