tomas_rodriguez_12
\text{Sea }P(x)\text{ un polinomio con coeficientes enteros, muestre que si }P(-1), P(0)\text{ y }P(1)\\\text{ no son divisibles por 3, entonces el polinomio no tiene soluciones enteras.}
SantiagoMundaca
Demostración: Para propósitos de contradicción, asumamos que existe al menos una solución entera. Sea P(x) un polinomio de grado n de tal modo que P(x)\coloneqq (x - k)(\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} a_ix^i), con k,a_i \in \mathbb{Z} \forall i \in\{0,1,\dots,n-1\}. Ahora, evaluando en x \in \{-1,0,1\} nos da que 3 \not| -1 -k, 3\not |-k, 3\not | 1 - k. Como -1-k, -k, 1-k son tres numeros consecutivos, al menos uno debe ser divisible por 3, lo cual nos lleva a una contradicción. \Rightarrow\Leftarrow
\therefore P(x) no puede tener ninguna solución entera.
