elnumerodeoro
Sea n > 1, n\in \mathbb{Z} .
Demuestra que siempre existe un k \in \mathbb{Z} tal que n | k y la suma de los dígitos de k es exactamente n.
👉 Ejemplo:
• Si n = 5, entonces k=50 sirve, porque es divisible por 5 y la suma de sus dígitos es 5 + 0 = 5.
SantiagoMundaca
Demostración: Primero que nada, yo considero que 0\in\mathbb{N}. Ademas, en la redacción uso la función S(t) que da de resultado la suma de los dígitos de t \in \mathbb N, la función max(a,b) que devuelve el mayor de a,b y la función \phi(r), con r \in \mathbb N que es la cantidad de numeros entre 1 y r que son coprimos con r. Con eso fuera del camino, escribiré n de la forma 2^\alpha5^\beta m, donde \alpha,\beta,m\in \mathbb{N}, con \gcd(m,10) = 1. Notemos que S(t) = S(10^ut
), \forall u\in \mathbb N. En particular, si tenemos que m|f, con f\in \mathbb N y S(f) = n, entonces 2^\alpha 5^\beta m|10^{max(\alpha,\beta)}f \iff n|10^{max(\alpha,\beta)}f. Con esto, reducimos el problema a ver si siempre existe f tal que S(f) = n Como \gcd(m,10) = 1, por teorema de Euler, 10^{\phi(m)}\equiv 1 (mod m), adicionalmente, notemos que (10^{\phi(m)})^x\equiv 1 (mod m) \forall x \in\mathbb N. De esta forma, podemos tomar f = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} (10^{\phi(m)})^i. Al ver f en modulo m, nos queda quef =\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (10^{\phi(m)})^i\equiv \displaystyle\sum_{i=1}^n 1^i = n \equiv 0 (mod m) \Rightarrow m|f.
\therefore Al tomar k = 10^{max(\alpha,\beta)}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (10^{\phi(m)})^i, con n =2^\alpha5^\beta m donde \alpha,\beta,m\in \mathbb{N}, con \gcd(m,10) = 1 Se cumple la condición del problema.
