SantiagoMundaca
Sea ABC un triangulo y D un punto en el lado BC. Una línea que pasa por D intersecta al lado AB en X y al rayo AC en Y. El circumcirculo del triangulo BXD intersecta el circumcirculo \omega del triangulo ABC en el punto Z distinto de B. Las líneas ZD y ZY intersectan a \omega en V y W respectivamente. Pruebe que AB = VW.
tomas_rodriguez_12
\text{Notemos que }\overline{AB} = \overline{VW} \iff \stackrel{\textstyle\frown}{AB}\,=\, \stackrel{\textstyle\frown}{WV,}\text{ como }\stackrel{\textstyle\frown}{AW}+\stackrel{\textstyle\frown}{WB}\,=\,\stackrel{\textstyle\frown}{AB} \text{ y } \stackrel{\textstyle\frown}{WV}\,=\,\stackrel{\textstyle\frown}{WB} + \stackrel{\textstyle\frown}{BV}\\
\Rightarrow \overline{AB} = \overline{VW} \iff \stackrel{\textstyle\frown}{AW}\,=\,\stackrel{\textstyle\frown}{BV.}\\
\text{Ahora notemos que }\stackrel{\textstyle\frown}{AW}\,=\,\stackrel{\textstyle\frown}{BV}\iff AWBV\text{ es trapecio isósceles }\iff \overline{AV}||\overline{WB}. \text{ Por lo tanto, procederemos a demostrar que }\overline{AV}||\overline{WB}.\\
\text{Veamos que }\angle VAB=\angle VZB=\angle DXB\text{, por lo tanto }\overline{AV}||\overline{XD}.\\
\text{También notemos que }\angle ZAY=\angle ZBC=\angle ZXY\text{, entonces }AYZX\text{ es cíclico, por lo tanto,}\\
\angle XYZ=\angle BAZ=\angle BWZ\text{, concluyendo así que }\overline{XD}||\overline{WB}.\\
\text{Como }\overline{AV}||\overline{XD} \text{ y } \overline{XD}||\overline{WB}\Rightarrow\overline{AV}||\overline{WB}\text{, demostrando así que }\overline{AB}=\overline{VW}.
