tomas_rodriguez_12
\text{(Canad谩 1969) Sea }f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \text{ una funci贸n con las siguientes propiedades:} \\
i) f(2) = 2 \\
ii) f(mn) = f(m)f(n) \text{, para todo }m\text{ y }n. \\
iii) f(m) > f(n) \text{, para }m>n. \\
\text{Pruebe que }f(n) = n.
SantiagoMundaca
Demostraci贸n: Primero que nada, considero que 0\in \mathbb N. Con eso aclarado, por iii) se tiene que f(0)<f(1)<f(2) . Por i), f(0) <f(1) <2, ya que los unicos naturales menores a 2 son el 0 y 1, entonces f(0) = 0 y f(1) = 1 para respetar la desigualdad. Notemos que por i) y ii) se tiene que f(2^\alpha) = f(2)f(2^{\alpha -1}) = 2f(2^{\alpha - 1}), con \alpha \in \mathbb N y \alpha \geq1. Reiterando este proceso, llegamos a que f(2^\alpha) = 2^\alpha. Llamare esta propiedad \star). Con esto, tenemos suficiente para usar inducci贸n, en particular reescribir茅 el problema como demostrar que f(n) = n \forall n \leq2^k \forall k\in\mathbb N. Como ya sabemos los valores de f(0),f(1),f(2), empezare por k = 2. Usando inducci贸n en k:
Paso Base; Verificando k = 2: Por \star), f(4) = 4, juntando esto con i) y ii), 2 < f(3) < 4 \Rightarrow f(3) = 3. Esto ya cubre todos los valores de n \leq 4.
Paso Inductivo; Asumimos que k = t cumple. Ahora analicemos k = t + 1: Observemos que si un numero entre 2^t y 2^{t+1}, es compuesto, lo podemos escribir como ab con a,b\in \mathbb N y a \geq b\geq 2. Ya que si a > 2^t entonces ab > 2^{t+1}, entonces 2^t \geq a\geq b\geq 2. Con esto, a y b cumplen que f(a) = a y f(b) = b ya que k = t cumple. Usando ii), f(ab) = f(a)f(b) = ab. \therefore Si un numero n entre 2^t y 2^{t +1} es compuesto, entonces f(n) = n.
Ahora solo queda revisar si n fuese un numero primo, pero como tenemos que t + 1 \geq 3, entonces no hay dos primos consecutivos, es decir, todo primo entre 2^t y 2^{t+1} se encuentra entre dos n煤meros compuestos. Sea n = p, siendo p un numero primo. Entonces, por ii), f(p - 1) < f(p) <f(p + 1), como p -1,p+1 son compuestos, entonces p -1<f(p) < p + 1 \Rightarrow f(p) =p.
\therefore k = t+1 cumple y se concreta la demostraci贸n.
