tomas_rodriguez_12
\text{(IMO 1981) La funci贸n }f(x,y) \text{ satisface las siguientes tres condiciones:}\\
i) f(0,y) = y+1\\
ii) f(x+1,0) = f(x,1)\\
iii) f(x+1,y+1)=f(x, f(x+1,y))\\
\text{para todos los enteros }x,y\geq0. \text{ Halle }f(4,1981).
Juan_Pablo_Lazo
Usando iii) f(1,y+1) = f(0, f(1,y)) = f(1,y) + 1 y usando i) y ii) f(1,0) = f(0,1) = 2
Por lo tanto f(1,y) = y+2 por inducci贸n en y (ya vimos el caso base y f(1,y)+1 = y+2+1=(y+1)+2=f(1,y+1))
Usando iii) y f(1,y) f(2,y+1) = f(1,f(2,y)) = f(2,y)+2 y usando ii) y f(1,y) f(2,0) = f(1,1) = 3
Por lo tanto f(2,y)= 2y+3 por inducci贸n en y (ya vimos el caso base y f(2,y) + 2 = 2y+3+2 = 2(y+1)+3= f(2,y+1))
Usando iii) y f(2,y) f(3,y+1) = f(2,f(3,y)) = 2f(3,y)+3 y usando ii) y f(2,y) f(3,0) = f(2,1) = 5
Por lo tanto f(3,y)= 2^{y+3} -3 por inducci贸n en y (ya vimos el caso base y 2f(3,y) + 3 = 2(2^{y+3}-3)+3 = 2^{(y+1)+3}-3= f(3,y+1))
Usando iii) y f(3,y) f(4,y+1) = f(3,f(4,y)) = 2^{f(4,y)+3}-3 y usando ii) y f(3,y) f(4,0) = f(3,1) = 13
Por lo tanto f(4,y)= 2^{2^{\dots^{2^{16}}}} -3 (donde hay y 2's contando la base de la potencia) por inducci贸n en y (ya vimos el caso base y 2^{f(4,y)} - 3 = 2^{2^{2^{\dots^{2^{16}}}} -3 + 3} - 3= 2^{2^{\dots^{2^{16}}}} -3 = f(4,y+1) como en f(4,y) hay y 2's por lo que f(4,y+1) tiene y+1 2's)
Asi que f(4,1981) = 2^{2^{\dots^{2^{16}}}} -3 donde hay 1981 2's
