elnumerodeoro
En su última transmisión el agente Chaparrov envió el siguiente mensaje:
La clave de acceso al computador es el número N que cumple que la suma de N con sus primeros k sucesores y sus primeros k antecesores es 2000 .
Luego de unos instantes se escucha nuevamente la voz de Chaparrov: ¡¡¡ FALTA UN DATO !!!! gritó. ¡¡¡ LA SUMA DE LOS DIGITOS DE N ES IMPAR.
¿Cuál es la clave?
SantiagoMundaca
Solución: La clave de acceso al computador es 16.
Demostración: Notemos que la suma de los primeros k sucesores de N y los primeros k antecesores de N son
\displaystyle\sum_{i=1} ^{k} N + i y \displaystyle\sum_{i=1}^k N -i respectivamente. Como las sumas empiezan y terminan en el mismo numero, podemos juntarlas, dando: \displaystyle\sum_{i=1}^k N + i + N - i = \displaystyle\sum_{i=1}^k 2N = 2kN. Ahora, sumando N, igualando a 2000 y seguir factorizando:
2kN + N = 2000 \implies N(2k + 1) = 2^4\cdot 5^3. Con esto, como N, k \in \mathbb N, entonces 2k + 1 \in \{1,5,25,125\} ya que son los únicos divisores impares de 2000. Viendo estos casos nos da que N \in \{2000,400,80,16\}, aquí el único de estos que cumple que la suma de sus dígitos sea impar es 16, entonces N = 16 es la solución, por tanto la clave es 16.
