Juan_Pablo_Lazo
(Lema conocido sobre la ecuación funcional de cauchy en los reales) 1) Sea f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una función tal que f(x+y) = f(x) + f(y) y es monótona ( f es creciente o decreciente). Demostrar que f(x) = cx donde c = f(1) es una constante real. (Si no se conoce la ecuacion f(x+y)=f(x)+f(y) es recomendable resolverla en los naturales, enteros y racionales antes)
2) (Difícil) El resultado anterior se puede mejorar aun mas, no es necesario que f sea monótona (creciente o decreciente) en todos los reales, basta con un intervalo de cualquier forma ( (a,b) , [a,b] , [a,b) o (a,b] ) donde a,b \in \mathbb{R} y a \not= b .
Sea f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} una función tal que f(x+y) = f(x) + f(y) y es monótona en el intervalo (a,b) (Es análogo para los otros tipos de intervalos). Demostrar que f es monótona en todos los reales.
(Aplicando 1) en 2) se tiene que si f es monótona en un intervalo cualquiera entonces f(x) =cx )
