aimiojito789
Para sacar otros cuadrados perfectos de una progresión aritmética teniendo solo uno, se puede realizar la siguiente fórmula, que estará presentada de dos formas que significan lo mismo:
1.-) ((√An) + d )^2
2.-) ((√(A1+ (n-1)d) + d)^2
Siendo "An" el cuadrado perfecto, y "d" la diferencia entre cada término de la progresión aritmética.
Esta fórmula anteriormente presentada no siempre indica el inmediatamente siguiente cuadrado perfecto, pero sirve para demostrar que "si entre los infinitos términos de una progresión aritmética de números enteros positivos hay un cuadrado perfecto, entonces infinitos términos de la progresión son cuadrados perfectos", debido a que como la progresión no tiene límites numéricos entonces la cantidad de cuadrados perfectos que se puedan presentar dentro de la progresión aritmética tampoco tendrán límites, lo que se traduce en infinitos cuadrados perfectos. Debido a que podrán calcularse infinitos de estos.
Para demostrar la fórmula anteriormente presentada se puede utilizar inducción, usando como caso base una sucesión aritmética cuyo A1 sea 1 y d sea 1.
Como 1 es un cuadrado perfecto, entonces A1 = An.
Para decir si un término pertenece a la sucesión se escribirá: x ∈ (An=A1+ (n-1)d)
1) p(1): ((√1) + 1)^2=4 y 4 ∈ (An = 1 + (n – 1)1) y (√4) ∈ (Z+)
2) p(k): ((√k) + 1)^2
3) p(k+1): ((√(k+1)) + 1)^2
4) Q.E.D. (Queda Entonces Demostrado) que ((√An) + d)^2= Ax, donde Ax ∈ (An=A1+ (n-1)d) y (√Ax) ∈ (Z+).
Hay otra forma para sacar tanto los mismos como otros cuadrados perfectos dentro de la progresión aritmética, pero presenta un requisito el cual es que An ≠ d. La fórmula es la siguiente |An-d| ⋅ A1.
Para demostrar esta fórmula se usará una sucesión que cumpla su requisito, la cual será A1=4, y d=3. En este caso el cuadrado perfecto puede ser 4.
1) p(4): |4-3| ⋅ 4=4 y 4 ∈ (An = 4 + (n – 1)3) y (√4) ∈ (Z+)
2) p(k): |k-3| ⋅ 4
3) p(k+1): |(k+1) - 3| ⋅ 4
4) Q.E.D. (Queda Entonces Demostrado) que |An-d| ⋅ A1 Ax, donde Ax ∈ (An=A1+ (n-1)d) y (√Ax) ∈ (Z+), exceptuando cuando An≠d .
