Juan_Pablo_Lazo
Para que no quede sin responder.
Tenemos que \angle BRP = \angle BAC y \angle PQC = \angle BAC ya que RP \parallel AC y PQ \parallel AB respectivamente. Entonces \triangle ABC \sim \triangle RBP , \triangle ABC \sim \triangle QPC lo que nos da que \triangle RBP \sim \triangle QPC , y como la razón entre sus áreas es k^2 su razón de semejanza es k .
Notemos que las áreas de \triangle ABC y \triangle ARQ son \frac{\overline{AR}\cdot\overline{AQ}\cdot\textrm{sen}\angle RAQ}{2} y \frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\textrm{sen}\angle BAC}{2} por lo que tenemos que calcular
\frac{\frac{\overline{AR}\cdot\overline{AQ}\cdot\textrm{sen}\angle RAQ}{2}}{\frac{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\textrm{sen}\angle BAC}{2}} = \frac{\overline{AR}\cdot\overline{AQ}\cdot\textrm{sen}\angle RAQ}{\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\textrm{sen}\angle BAC} y como \angle RAQ = \angle BAC (coinciden) tenemos que calcular \frac{\overline{AR}\cdot\overline{AQ}}{\overline{AB}\cdot\overline{AC}}.
Veamos que ARPQ es un paralelogramo por lo que \overline{AR} = \overline{RP} y \overline{AQ} = \overline{QP} .
Calculamos \frac{\overline{AC}}{\overline{RP}} = \frac{\overline{AQ}+\overline{QC}}{RP} = \frac{\overline{RP}+\overline{QC}}{\overline{RP}} = 1 + \frac{\overline{QC}}{\overline{RP}} = 1 + \frac{1}{k}
Similarmente \frac{\overline{AB}}{\overline{QP}} = \frac{\overline{AR}+\overline{RB}}{QP} = \frac{\overline{QP}+\overline{RB}}{\overline{QP}} = 1 + \frac{\overline{RB}}{\overline{QP}} = 1 + k
Por tanto \frac{\overline{AR}\cdot\overline{AQ}}{\overline{AB}\cdot\overline{AC}} = \frac{AR}{AC}\cdot\frac{AQ}{AB}= \left( \frac{1}{\frac{1}{k}+1} \right)\left( \frac{1}{k+1} \right) = \frac{k}{(k+1)^2}
