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Semana Once
elnumerodeoro
Demuestre que no existe ninguna función
f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}
tal que
f(f(n)) = n + 1
.
Nelson
Notemos que si evaluamos la funcion en f(x), nos queda de la forma:
f(f(f(x))) = f(x) + 1
= f(x +1) = f(x) + 1
=> f(x + 1) - f(x) = 1
Por lo tanto f(x) = kx +c.
=> f(f(x)) = k²x +kc +c
=> k² = 1
kc + c = 1
=> k = (1,-1)
En el caso k = -1; 0 = 1; entoces k no puede ser igual a -1
En el caso k = 1; c = 1/2
=> f(x) = x + 1/2; pero esto no puede ocurrir ya que si evaluamos la funcion en 1, por ejemplo nos queda:
f(3/2) = 2, estariamos evaluando f en un valor que no esta dentro del dominio.
SantiagoMundaca
Demostración: Supongamos que si existe tal función
f.
Evaluemos con
n = k
y
n = f(k)
en la ecuación original.
f(f(k)) = k + 1
f(f(f(k))) = f(k) + 1
\Rightarrow f(k+1) = f(k) + 1 \dots(\star)
Ahora demostrare por inducción que
\forall n\geq 2, f(n) = n +f(1)-1.
Caso base;
n = 2:
Reemplazando
k = 1
en
(\star)
obtenemos
f(2) = f(1) +1 = 2 +f(1)-1
, demostrando el caso base.
Hipotesis Inductiva; Supongamos que para
n = m
se cumple que
f(m) = m +f(1) -1.
Reemplazando
k = m
en
(\star)
se tiene que
f(m +1) = f(m) + 1 = (m +f(1) -1) +1 = m+1 +f(1)-1
, demostrando
n = m +1
y por tanto que
\forall n\geq 2, f(n) = n +f(1)-1.
Tomando algún
t \in \mathbb N
, con
t \geq 3
y evaluando
f(f(t))
, usando la ecuación original y
f(n) = n +f(1)-1.
f(f(t)) = t + 1, f(f(t)) = f(t +f(1)-1) = t +f(1) - 1 +f(1)-1 = t +2(f(1) -1)\\ \iff t +1 = t +2(f(1) -1) \iff 1 = 2(f(1) -1)
, lo cual es imposible por paridad, por tanto, no existe tal función
f.
Nelson
@Nelson
Acepto que falle en la parte final, debí haber argumentado que la función, x+1/2, era una función de Naturales en Racionales.
Juan_Pablo_Lazo
Suponiendo que existe tal función se tiene que
f(n+1) = f(f(f(n))) = f(n) + 1
Por inducción se demuestra que
f(n+a) = f(n) + a
para todo
a \in \mathbb{N}
, el caso base
a=1
ya lo vimos, ahora supongamos que para algún
k \in \mathbb{N}
tenemos que
f(n+k) = f(n) + k
,
entonces
f(n+k+1) = f(n+k)+1 = f(n)+k+1
, que es lo que queriamos mostrar.
Usando
f(n+a) = f(n) + a
con
n = 1
tenemos
f(a+1) = f(1) + a
, entonces
a+2 = f(f(a+1))=f(f(1)+a) = f((f(1)+a-1) + 1) = f(1) + (f(1)+a-1) = 2f(1)+a-1
Por tanto
a+2 = 2f(1) +a-1 \iff f(1) = \frac{3}{2}
lo que es una contradicción de la definición de
f
.
