elnumerodeoro
Demostrar que
\qquad \qquad \frac{a}{5} = \frac{b}{10} = \frac{c}{13}
es condición necesaria y suficiente para que, en el triángulo ABC, la mediana desde B sea dividida en tres partes iguales por la circunferencia inscrita en el triángulo.
Nelson
Gracias a la condicion podemos determinar que:
a = b/2 = CB
c = 13b/10 = AB
Llamaremos F al punto medio de AC, el triangulo FCB es isosceles ya que AC = b, entonces FC = b/2 y CB = b/2.
Tambien llamaremos a los puntos donde la recta BF corta a la circunferencia inscrita I y H, ademas llamaremos al centro de la circunferencia inscrita O.
Llamaremos a los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita, que estan sobre las rectas CB y FC, J y K respectivamente.
Como conocemos los tres lados, usando el teorema de Stewart podemos llegar a la siguiente igualdad.
BF = 3√(2)b/5
Ya que el area del triangulo es igual a, S*r, (S = (a + b +c)/2 y r = inradio) podemos sacar el area con la formula de Heron.
√( S (S - b/2) (S - 13b/10) (S - b) ) = S*r
√( ((S - b/2) (S - 13b/10) (S - b))/S ) = r
3√(14) b/70 = r
Ahora, si trazamos dos radios, OH, OI, se formara un triangulo isosceles HOI, trazaremos otros dos radios mas OJ y OK.
∠OJB = ∠FKO = 90°
∠BIO = ∠OHF, ya que los dos son angulos exteriores del triangulo HOI el cual es isosceles
∠BFC = ∠CBF
por lo tanto los dos angulo que faltan deben ser congruentes
HO = IO = OJ = OK
FK = BJ
Con todo esto podemos concluir que los cuadrilateros OHFK y OIBJ son congruentes, por lo que, BI = HF.
Ahora trazaremos una recta BO, formando un triangulo BOJ, podemos notar que JB = S - b = 2b/5, aplicando el teorema de pitagoras quedaremos con lo siguiente.
OJ² + JB² = OB²
((3√(14) b)/70)² + (2b/5)² = OB²
√(910)b/70 = OB
Ahora trazamos la altura del vertice O del triangulo HOI, la cual cortara en un punto G a la recta BF, formando un triangulo OGB, podemos notar que G es el punto medio de la recta FB, por lo tanto GB = 3√(2)b/10, si le aplicamos el teorema de pitagoras, obtendremos la siguiente igualdad.
(√(910)b/70)² = (3√(2)b/10)² + OG²
Si despejamos esto nos da que, OG = √(7)b/35.
Ahora si llamamos a HI, x, y le aplicamos el teorema de pitagoras a GOH, obtendremos que.
(3√(14) b/70)² = (√(7)b/35)² + (x/2)²
Si despejamos x nos queda que, x = √(2)b/5
Y con esto el trabajo ya estaria hecho ya que FH = IB, si llamamos a estos dos, j, entonces podemos concluir la siguiente igualdad
3√(2)b/5 = √(2)b/5 + 2y
√(2)b/5 = y
