Semana Quince

elnumerodeoro

Tres mercaderes encontraron una bolsa en el camino. Uno de ellos dijo: “Si yo consigo esta
bolsa, seré el doble de rico que ustedes dos juntos”.
Entonces el segundo dijo: “Yo seré el doble de rico que ustedes dos juntos”.
El tercer hombre dijo: “Yo seré tan rico como cinco veces ustedes dos juntos”.
¿Cuánto tenı́a cada mercader y cuánto habı́a en la bolsa?

cperez11

\text{1. Datos}\\ \text{Sea }a \text{ la cantidad del } 1^\circ \text{ comerciante}\\ \text{Sea }b \text{ la cantidad del } 2^\circ \text{ comerciante}\\ \text{Sea }c \text{ la cantidad del } 3^\circ \text{ comerciante}\\ \text{Sea }z \text{ la cantidad de la bolsa encontrada}\\ \text{---}\\ \text{2. Ecuaciones}\\ a+z = 2b + 2c\\ b + z = 2c + 2a\\ c + z = 5a + 5b\\ \text{---}\\ \text{3. Despejando }z\text{ de cada ecuación:}\\ z = -a + 2b + 2c \quad \text{(Ecuación 1)}\\ z = 2a - b + 2c \quad \text{(Ecuación 2)}\\ z = 5a + 5b - c \quad \text{(Ecuación 3)}\\ \text{---}\\ \text{4. De la Ecuación 1 y 2 se obtiene:}\\ \text{Igualamos las expresiones para }z:\\ -a + 2b + 2c = 2a - b + 2c\\ \text{Simplificamos:} \quad -a + 2b = 2a - b\\ 3b = 3a\\ \therefore a = b \quad \text{(Relación A)}\\ \text{---}\\ \text{5. De la Relación A y la Ecuación 3 se obtiene:}\\ \text{Sustituimos }a=b \text{ en la Ecuación 3:}\\ z = 5b + 5b - c\\ \therefore z = 10b - c \quad \text{(Relación B)}\\ \text{---}\\ \text{6. De la Relación A y la Ecuación 1 se obtiene:}\\ \text{Sustituimos }a=b \text{ en la Ecuación 1:}\\ z = -b + 2b + 2c\\ \therefore z = b + 2c \quad \text{(Relación C)}\\ \text{---}\\ \text{7. De la Relación B y la Relación C se obtiene:}\\ \text{Igualamos las expresiones para }z:\\ 10b - c = b + 2c\\ \text{Simplificamos:} \quad 9b = 3c\\ \therefore c = 3b \quad \text{(Relación D)}\\ \text{---}\\ \text{8. De la Relación B y la Relación D se obtiene:}\\ \text{Sustituimos }c=3b \text{ en la Relación B:}\\ z = 10b - 3b\\ \therefore z = 7b \quad \text{(Relación E)}\\ \text{---}\\ \text{9. Respuesta Final}\\ \text{Resumen de las relaciones: } a = b, \quad c = 3b, \quad z = 7b\\ \text{Las cantidades deben cumplir las siguientes proporciones:}\\ \text{Cantidad } 1^\circ \text{ } = \text{ Cantidad } 2^\circ\\ \text{Cantidad } 3^\circ \text{ } = 3 \times \text{ Cantidad } 2^\circ\\ \text{Bolsa } = 7 \times \text{ Cantidad } 2^\circ\\ \text{Hay infinitas soluciones, pero estas son las proporciones.}\\