elnumerodeoro
Tres mercaderes encontraron una bolsa en el camino. Uno de ellos dijo: “Si yo consigo esta
bolsa, seré el doble de rico que ustedes dos juntos”.
Entonces el segundo dijo: “Yo seré el doble de rico que ustedes dos juntos”.
El tercer hombre dijo: “Yo seré tan rico como cinco veces ustedes dos juntos”.
¿Cuánto tenı́a cada mercader y cuánto habı́a en la bolsa?
cperez11
\begin{enumerate}
\item \textbf{Datos}
\begin{itemize}
\item $a$: $1^{\circ}$ comerciante, \item $b$: $2^{\circ}$ comerciante, \item $c$: $3^{\circ}$ comerciante, \item $z$: bolsa encontrada.
\end{itemize}
\item \textbf{ Ecuaciones}
\begin{equation}
a+z = 2b + 2c
\end{equation}
\begin{equation}
b + z = 2c + 2a
\end{equation}
\begin{equation}
c + z = 5a + 5b
\end{equation}
\item \textbf{Primer Reemplazo y Simplificación}
\begin{equation}
\label{cuatro}
z = -a + 2b + 2c
\end{equation}
\begin{equation}
\label{cinco}
z = 2a - b + 2c
\end{equation}
\begin{equation}
\label{seis}
z = 5a + 5b - c
\end{equation}
\item \textbf{De \ref{cuatro} y \ref{cinco} Se obtiene:}
\begin{center}
$ 2a + b = 2b -a $ \
$ 3a = 3b $ \
\end{center}
\begin{equation}
\label{siete}
a = b
\end{equation}
\item \textbf{De \ref{seis} y \ref{siete} Se obtiene:}
\begin{equation}
\label{ocho}
z = 10b - c = 10a - c \
\end{equation}
\item \textbf{De \ref{cuatro} y \ref{siete} Se obtiene:}
\begin{equation}
\label{nueve}
z = b + 2c
\end{equation}
\item \textbf{De \ref{ocho} y \ref{nueve} Se obtiene:}
\begin{center}
10b - c = b + 2c\
9b = 3c\
\end{center}
\begin{equation}
\label{dies}
3b = c
\end{equation}
\item \textbf{De \ref{ocho} y \ref{dies} Se obtiene:}
\begin{center}
z = 10b - c\
z = 10b - 3b
\end{center}
\begin{equation}
\label {once}
z = 7b = 7a
\end{equation}
\item \textbf{De \ref{siete} , \ref{dies} y \ref{once} Se obtiene:}
\begin{center}
b = a\
c = 3b\
z = 7a =7b\
\end{center}
\item \textbf{Respuesta : Hay muchos resultados posibles para las cantidades de dinero que tienen y que hay en la bolsa.Pero los resultados seran : 1° = 2° , 3° = 3 veces lo que tiene el 1° o el 2° y la bolsa = a 7 veces lo que tiene el 1° o el 2°}
\end{enumerate}
cperez11
\text{1. Datos}\
\text{Sea }a \text{ la cantidad del } 1^\circ \text{ comerciante}\
\text{Sea }b \text{ la cantidad del } 2^\circ \text{ comerciante}\
\text{Sea }c \text{ la cantidad del } 3^\circ \text{ comerciante}\
\text{Sea }z \text{ la cantidad de la bolsa encontrada}\
\text{---}\
\text{2. Ecuaciones}\
a + z = 2b + 2c\
b + z = 2c + 2a\
c + z = 5a + 5b\
\text{---}\
\text{3. Simplificación}\
\text{Despejando }z\text{ de cada ecuación:}\
z = -a + 2b + 2c \quad \text{(Ecuación 1)}\
z = 2a - b + 2c \quad \text{(Ecuación 2)}\
z = 5a + 5b - c \quad \text{(Ecuación 3)}\
\text{---}\
\text{4. De la Ecuación 1 y 2 se obtiene:}\
\text{Igualamos las expresiones para }z:\
-a + 2b + 2c = 2a - b + 2c\
\text{Simplificamos:} \quad -a + 2b = 2a - b\
3b = 3a\
\therefore a = b \quad \text{(Relación A)}\
\text{---}\
\text{5. De la Relación A y la Ecuación 3 se obtiene:}\
\text{Sustituimos }a=b \text{ en la Ecuación 3:}\
z = 5b + 5b - c\
\therefore z = 10b - c \quad \text{(Relación B)}\
\text{---}\
\text{6. De la Relación A y la Ecuación 1 se obtiene:}\
\text{Sustituimos }a=b \text{ en la Ecuación 1:}\
z = -b + 2b + 2c\
\therefore z = b + 2c \quad \text{(Relación C)}\
\text{---}\
\text{7. De la Relación B y la Relación C se obtiene:}\
\text{Igualamos las expresiones para }z:\
10b - c = b + 2c\
\text{Simplificamos:} \quad 9b = 3c\
\therefore c = 3b \quad \text{(Relación D)}\
\text{---}\
\text{8. De la Relación B y la Relación D se obtiene:}\
\text{Sustituimos }c=3b \text{ en la Relación B:}\
z = 10b - 3b\
\therefore z = 7b \quad \text{(Relación E)}\
\text{---}\
\text{9. Respuesta Final}\
\text{Resumen de las relaciones: } a = b, \quad c = 3b, \quad z = 7b\
\text{Las cantidades deben cumplir las siguientes proporciones:}\
\text{Cantidad } 1^\circ \text{ } = \text{ Cantidad } 2^\circ\
\text{Cantidad } 3^\circ \text{ } = 3 \times \text{ Cantidad } 2^\circ\
\text{Bolsa } = 7 \times \text{ Cantidad } 2^\circ\
\text{Hay infinitas soluciones, pero estas son las proporciones.}\
cperez11
$\text{1. Datos. Sea }a \text{ la cantidad del } 1^\circ \text{ comerciante, }b \text{ la del } 2^\circ \text{, }c \text{ la del } 3^\circ \text{, y }z \text{ la de la bolsa.}\\ \text{2. Ecuaciones: } a+z = 2b + 2c, \quad b + z = 2c + 2a, \quad c + z = 5a + 5b.\ \text{3. Simplificación. Despejando }z\text{: } z = -a + 2b + 2c \text{ (Ecuación 1)}, \quad z = 2a - b + 2c \text{ (Ecuación 2)}, \quad z = 5a + 5b - c \text{ (Ecuación 3)}. \\text{4. De la Ecuación 1 y 2 se obtiene:} -a + 2b + 2c = 2a - b + 2c \Rightarrow 3b = 3a \therefore a = b \text{ (Relación A)}.\ \text{5. De la Relación A y la Ecuación 3 se obtiene:} z = 5b + 5b - c \therefore z = 10b - c \text{ (Relación B)}.\ \text{6. De la Relación A y la Ecuación 1 se obtiene:} z = -b + 2b + 2c \therefore z = b + 2c \text{ (Relación C)}.\ \text{7. De la Relación B y la Relación C se obtiene:} 10b - c = b + 2c \Rightarrow 9b = 3c \therefore c = 3b \text{ (Relación D)}.\ \text{8. De la Relación B y la Relación D se obtiene:} z = 10b - 3b \therefore z = 7b \text{ (Relación E)}.\ \text{9. Respuesta Final. Las proporciones son: } a = b, \quad c = 3b, \quad z = 7b. \ \text{Cantidad } 1^\circ \text{ } = \text{ Cantidad } 2^\circ \text{, } \text{Cantidad } 3^\circ \text{ } = 3 \times \text{ Cantidad } 2^\circ \text{, y } \text{Bolsa } = 7 \times \text{ Cantidad } 2^\circ \text{. Hay infinitas soluciones. }$
cperez11
\text{1. Datos}\\
\text{Sea }a \text{ la cantidad del } 1^\circ \text{ comerciante}\\
\text{Sea }b \text{ la cantidad del } 2^\circ \text{ comerciante}\\
\text{Sea }c \text{ la cantidad del } 3^\circ \text{ comerciante}\\
\text{Sea }z \text{ la cantidad de la bolsa encontrada}\\
\text{---}\\
\text{2. Ecuaciones}\\
a+z = 2b + 2c\\
b + z = 2c + 2a\\
c + z = 5a + 5b\\
\text{---}\\
\text{3. Despejando }z\text{ de cada ecuación:}\\
z = -a + 2b + 2c \quad \text{(Ecuación 1)}\\
z = 2a - b + 2c \quad \text{(Ecuación 2)}\\
z = 5a + 5b - c \quad \text{(Ecuación 3)}\\
\text{---}\\
\text{4. De la Ecuación 1 y 2 se obtiene:}\\
\text{Igualamos las expresiones para }z:\\
-a + 2b + 2c = 2a - b + 2c\\
\text{Simplificamos:} \quad -a + 2b = 2a - b\\
3b = 3a\\
\therefore a = b \quad \text{(Relación A)}\\
\text{---}\\
\text{5. De la Relación A y la Ecuación 3 se obtiene:}\\
\text{Sustituimos }a=b \text{ en la Ecuación 3:}\\
z = 5b + 5b - c\\
\therefore z = 10b - c \quad \text{(Relación B)}\\
\text{---}\\
\text{6. De la Relación A y la Ecuación 1 se obtiene:}\\
\text{Sustituimos }a=b \text{ en la Ecuación 1:}\\
z = -b + 2b + 2c\\
\therefore z = b + 2c \quad \text{(Relación C)}\\
\text{---}\\
\text{7. De la Relación B y la Relación C se obtiene:}\\
\text{Igualamos las expresiones para }z:\\
10b - c = b + 2c\\
\text{Simplificamos:} \quad 9b = 3c\\
\therefore c = 3b \quad \text{(Relación D)}\\
\text{---}\\
\text{8. De la Relación B y la Relación D se obtiene:}\\
\text{Sustituimos }c=3b \text{ en la Relación B:}\\
z = 10b - 3b\\
\therefore z = 7b \quad \text{(Relación E)}\\
\text{---}\\
\text{9. Respuesta Final}\\
\text{Resumen de las relaciones: } a = b, \quad c = 3b, \quad z = 7b\\
\text{Las cantidades deben cumplir las siguientes proporciones:}\\
\text{Cantidad } 1^\circ \text{ } = \text{ Cantidad } 2^\circ\\
\text{Cantidad } 3^\circ \text{ } = 3 \times \text{ Cantidad } 2^\circ\\
\text{Bolsa } = 7 \times \text{ Cantidad } 2^\circ\\
\text{Hay infinitas soluciones, pero estas son las proporciones.}\\
