elnumerodeoro
Por demostrar que si f_n es primo, entonces n es primo.
Antes debemos probar que si d | n entonces f_d| f_n.
Veamos:
Es conocida la identidad
f_{m+k} = f_{m-1} f_k + f_m f_{k+1}, que es verdadera \forall m,k \geq 0 enteros.
Sea n = kd. Probaremos por inducción sobre k, que f_d | f_{kd}
- Si k = 1 es obvio que se cumple.
- Suponemos que se cumple que f_d | f_{kd} entonces
f_{(k+1)d} = f_{kd + d} = f_{kd - 1}f_d + f_{kd}f_{d+1}
Tenemos que f_d | f_d y f_f | f_{kd} entonces f_d | f_{kd - 1}f_d + f_{kd}f_{d+1} entonces
f_d | f_{(k + 1)d}
Con este resultado podemos abordar la demostración pedida,
Diremos que f_n es primo y que n no lo es.
entonces \exists d \qquad d\neq 1 y d\neq n \qquad tal que d | n
\Rightarrow \quad f_d | f_n \rightarrow\leftarrow
Por lo tanto n es primo.
El recíproco no es verdad.
Contraejemplo: n = 19 es primo y f_{19} = 4181 no lo es.
