\textbf{Respuesta: }f(x) = x, \, \forall \, x\in \mathbb{R}.
Sea P(x,y) la aserción f(x^{2026}+f(y))=y+f(x)^{2026}
\textbf{Afirmación 1: }f\text{ es biyectiva.}
Supongamos que f(a) = f(b) para unos números a,b\in\mathbb{R} entonces
a +f(x)^{2026}=f(x^{2026}+f(a))=f(x^{2026}+f(b))=b+f(x)^{2026}\Rightarrow a=b
demostrando la inyectividad.
Remplazando P(x,y-f(x)^{2026}) tenemos que
f(x^{2026}+f(y-f(x)^{2026}))=y, \forall \, y\in\mathbb{R}, demostrando la sobreyectividad.
\textbf{Afirmación 2: } f(0) = 0.
Remplazando P(0,0) tenemos que f(f(0))=f(0)^{2026}.
Por la sobreyectividad, existe un número real t talque f(t)=0, entonces remplazando
P(x,y)=P(t,f(0)) tenemos que
f(t^{2026}+f(f(0)))=f(0)\Rightarrow t^{2026}+f(f(0))=0
\Rightarrow f(0)^{2026}=f(f(0))=-t^{2026}
\Rightarrow 0\ge-t^{2026}=f(0)^{2026}\ge0\Rightarrow f(0)=t=0.
\textbf{Afirmación 3: }f(x)=x, \, \forall x\in\mathbb{R}^{+}
Remplazando P(0,x) tenemos f(f(x))=x.
Remplazando P(x,f(y)) tenemos que f(x^{2026}+y)=f(y)+f(x^{2026})
entonces f es una función aditiva en \mathbb{R}^{+}, para probar que f no es una "función de Hamel"
notemos que remplazando P(x,0) tenemos f(x^{2026})=f(x)^{2026}, entonces
f(x)\ge0, \, \forall \, x\ge0, lo que prueba que f es una función lineal en \mathbb{R}^{+}.
Escribiendo f como f(x)=xk, \forall \, x\in\mathbb{R}^{+} y remplazando en la ecuación original se tiene
que k=1, demostrando la afirmación.
Ahora solo nos faltan las imagenes de los números negativos.
Remplazando P(x,-f(x)^{2026}) tenemos que f(x^{2026}+f(-f(x)^{2026}))=0
\Rightarrow -x^{2026} = f(-f(x)^{2026})=f(-x^{2026}) \Rightarrow f(x)=x \,\forall \,x\le0.
Por lo tanto, f(x) = x para todo número real x.
