iMPuRe vs Jumbito

impure

Mismas reglas, partes tu proponiendo

jumbito

[tex]\bf{Problema\ 1}[/tex] Sea [tex]B_n[/tex] la cantidad de n-uplas ordenadas de enteros positivos [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] tales que [tex]a_1^{-1}+a_2^{-1}+...+a_n^{-1}=1[/tex]. Cual es la paridad de [tex]B_{10}[/tex] ?

impure

pido una hora de plazo extra... estoi escribiendo la solucion :

impure

Sol P1: Sea [tex]\left ( a_1,...,a_n \right )[/tex] una 10-upla que es solucion, entonces sus permutaciones tambien son solucion. Como eventualmente puede darse mas de una vez que [tex]a_i=a_j[/tex] para [tex]i \neq j[/tex], entonces usaremos coeficientes multinomiales. De acuerdo a lo anterior una solucion fija genera un numero de soluciones igual al coeficiente multinomial que le corresponde, asi que nos interesaran las soluciones que su coeficiente multinomial es impar, ya que las de coeficiente multinomial par nos entregaran una cantidad par de soluciones si o si. Como los coeficientes multinomiales son de la forma [tex]\frac{10!}{n_1!n_2!...n_i!}[/tex] donde los [tex]n_i[/tex] son las veces que se repite cierto valor en la 10-upla y [tex]\sum n_i=10[/tex], para que esta expresion sea impar tenemos que cancelar en su totalidad la potencia de [tex]2[/tex] que contiene el numerador. Notemos que:

[center][tex]10![/tex] contiene a [tex]2^8[/tex]

[tex]9![/tex] contiene a [tex]2^7[/tex]

[tex]8![/tex] contiene a [tex]2^7[/tex]

[tex]7![/tex] contiene a [tex]2^4[/tex]

[tex]6![/tex] contiene a [tex]2^4[/tex]

[tex]5![/tex] contiene a [tex]2^3[/tex]

[tex]4![/tex] contiene a [tex]2^3[/tex]

[tex]3![/tex] contiene a [tex]2^1[/tex]

[tex]2![/tex] contiene a [tex]2^1[/tex]

[tex]1![/tex] contiene a [tex]2^0[/tex][/center]

Asi que para maximizar el exponente de la potencia de [tex]2[/tex] en el denominador tenemos lo siguiente:

-No es eficiente elegir [tex]1![/tex] pues no aporta nada y cuenta como [tex]+1[/tex] en la suma constante [tex]10[/tex].

-Es mas eficiente elegir [tex]2![/tex] que [tex]3![/tex], pues ambos aportan la misma potencia pero [tex]+2[/tex] aporta menos a la suma constante [tex]10[/tex].

-Es mas eficiente elegir [tex]4![/tex] que [tex]5![/tex], pues ambos aportan la misma potencia pero [tex]+4[/tex] aporta menos a la suma constante [tex]10[/tex].

-Es mas eficiente elegir [tex]6![/tex] que [tex]7![/tex], pues ambos aportan la misma potencia pero [tex]+6[/tex] aporta menos a la suma constante [tex]10[/tex].

-Es mas eficiente elegir [tex]8![/tex] que [tex]9![/tex], pues ambos aportan la misma potencia pero [tex]+8[/tex] aporta menos a la suma constante [tex]10[/tex].

-Al elegir [tex]10![/tex] tenemos solo una solucion que es [tex]\left ( 10,10,...,10 \right)[/tex].

-Es mas eficiente elegir [tex]4![/tex] que [tex]2![/tex], pues [tex]2+2=4[/tex] pero [tex]2!2![/tex] aporta [tex]2^2[/tex] y [tex]4![/tex] aporta [tex]2^3[/tex].

-Es mas eficiente elegir [tex]6![/tex] que [tex]2![/tex], pues [tex]2+2+2=6[/tex] pero [tex]2!2!2![/tex] aporta [tex]2^3[/tex] y [tex]6![/tex] aporta [tex]2^4[/tex].

-Es mas eficiente elgir [tex]8![/tex] que [tex]6![/tex] pues [tex]6+4=8+2[/tex] pero [tex]6!4![/tex] aporta [tex]2^7[/tex] y [tex]8!2![/tex] aporta [tex]2^8[/tex].

Asi los unicos coeficientes multinomiales impares son [tex]\frac{10!}{10!}[/tex] y [tex]\frac{10!}{8!2!}[/tex]. El primero tiene solo [tex]1[/tex] solucion que ya fue expuesta, asi que la paridad de [tex]B_{10}[/tex] depende exclusivamente de la paridad de la cantidad de soluciones cuando un valor se repite [tex]8[/tex] veces y otro [tex]2[/tex] en la 10-upla. Si esta cantidad es par entonces [tex]B_{10}[/tex] es impar, si es impar entonces [tex]B_{10}[/tex] es par.

Sea la 10-upla [tex]( \underbrace{a,...,a}_{8a's} , \underbrace{b,b}_{2b's} )[/tex], entonces [tex]8b+2a=ab[/tex], para encontrar todas las soluciones de esta ecuacion dividiremos en [tex]3[/tex] casos.

Caso 1: [tex]b[/tex] impar: Asi [tex]b \mid 2a \Longleftrightarrow b \mid a[/tex], entonces [tex]a=bj[/tex] y la ecuacion queda [tex]8b+2bj=b^2j \Longleftrightarrow 8+2j=jb \Rightarrow j \mid 8[/tex] asi que [tex]j=\{ 1,2,4,8 \}[/tex].

-[tex]j=1[/tex] es imposible pues [tex]a \neq b[/tex].

-[tex]j=2[/tex] entonces [tex]8b+4b=2b^2 \Rightarrow b=6,a=12[/tex], pero sera validada en el Caso 3.

-[tex]j=4[/tex] entonces [tex]8b+8b=4b^2 \Rightarrow b=4,a=16[/tex], pero sera validada en el Caso 3.

-[tex]j=8[/tex] entonces [tex]8b+16b=8b^2 \Rightarrow b=3,a=24[/tex].

Caso 2: [tex]a[/tex] impar: Asi [tex]a \mid 8b \Longleftrightarrow a \mid b[/tex], entonces [tex]b=aj[/tex] y la ecuacion queda [tex]8aj+2a=a^2j \Longleftrightarrow 8j+2=aj \Rightarrow j \mid 2[/tex] asi que [tex]j=\{1,2\}[/tex].

-[tex]j=1[/tex] es imposible pues [tex]b \neq a[/tex].

-[tex]j=2[/tex] entonces [tex]16a+2a=2a^2 \Rightarrow a=9,b=18[/tex].

Caso 3: [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] pares: Asi [tex]a=2a_1[/tex] y [tex]b=2b_1[/tex] y la ecuacion queda [tex]16b_1+4a_1=4a_1b_1 \Rightarrow 4b_1+a_1=a_1b_1 \Rightarrow b_1 \mid a_1 \Rightarrow a_1=b_1j[/tex] y la ecuacion queda [tex]4b_1+b_1j=b_1^2j \Rightarrow 4+j=b_1j \Rightarrow j \mid 4 \Rightarrow j=\{1,2,4\}[/tex].

-[tex]j=1[/tex] imposible pues [tex]a \neq b[/tex].

-[tex]j=2[/tex] entonces [tex]4b_1+2b_1=2b_1^2 \Rightarrow b_1=3,a_1=6 \Rightarrow b=6,a=12[/tex].

-[tex]j=4[/tex] entonces [tex]4b_1+4b_1=4b_1^2 \Rightarrow b_1=2,a_1=8 \Rightarrow b=4,a=16[/tex].

Asi al coeficiente multinomial [tex]\frac{10!}{8!2!}[/tex] le corresponde un numero par de soluciones ([tex]4[/tex]), por tanto [tex]B_{10}[/tex] es impar.

jumbito

Te adjudico los 7 ptos, la otra respuesta la escribire en otro foro para mantener el orden.

Sigue con el 2

impure

[tex]\bf{Problema\ 2}[/tex] Sea [tex]d(n)[/tex] el divisor impar mas grande de [tex]n[/tex], [tex]D(n)=d(1)+d(2)+\cdots +d(n)[/tex] y [tex]T(n)=1+2+\cdots +n[/tex].

Pruebe que existen infinitos enteros positivos [tex]n[/tex] tales que [tex]3D(n)=2T(n)[/tex].

impure

qe asco 0 puntos propon tu ambuli :

jumbito

[tex]\bf{Problema\ 3}[/tex] El incírculo de un triangulo [tex]ABC[/tex] interseca a [tex]BA,AC,CB[/tex] en los puntos [tex]M,N,K[/tex], respectivamente. Si [tex]Q[/tex] es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos medios de [tex]MN,NK,KM[/tex], demuestre que [tex]Q[/tex], el incentro del [tex]ABC[/tex] y el circuncentro del [tex]ABC[/tex] son colineales.

impure

[center][/center]

Guiarse por figura, usaremos geometria analitica.

Sea [tex]A=(b,c),B=(0,0),C=(a,0)[/tex].

Sea [tex]K=(x,y)[/tex] el circuncentro de [tex]\triangle ABC[/tex], entonces usando que la distancia de [tex]K[/tex] a los vertices es constante tenemos [tex]x^2+y^2=(x-a)^2+y^2=(x-b)^2+(x-c)^2[/tex], considerando la primera con la segunda tenemos [tex]x=\frac{a}{2}[/tex] y considerando la segunda con la tercera usando el valor de [tex]x[/tex] encontrado tenemos [tex]y=\frac{b^2+c^2-ab}{2c}[/tex].

Asi que [tex]K=(\frac{a}{2},\frac{b^2+c^2-ab}{2c})[/tex].

Sea [tex]D=(u,v)[/tex] el incentro de [tex]\triangle ABC[/tex], entonces usando que la distancia de [tex]D[/tex] a los lados es constante, tambien recordando que la magnitud de la proyeccion de un punto [tex](x_0,y_0)[/tex] a una recta de ecuacion [tex]Ax+By+C=0[/tex] es [tex]\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex] y notando que [tex]\stackrel{\leftrightarrow}{BA}: y-\frac{c}{b}x+0=0, \stackrel{\leftrightarrow}{BC}: y+0+0=0, \stackrel{\leftrightarrow}{CA}: y-\frac{c}{b-a}x-\frac{ca}{b-a}=0[/tex] tenemos:

[tex]\frac{|-\frac{c}{b}u+v+0|}{\sqrt{\frac{c^2}{b^2}+1}}=\frac{|0+v+0|}{\sqrt{0+1}}=\frac{|-\frac{c}{b-a}u+v-\frac{ca}{b-a}|}{\sqrt{\frac{c^2}{(b-a)^2}+1}}[/tex].

Considerando que queremos las bicectrices interiores, es decir asumiremos que lo que esta dentro de los modulos siempre es no negativo, podemos despejar [tex]u,v[/tex] y tenemos [tex]D= \frac{a}{\sqrt{c^2+(b-a)^2}-\sqrt{c^2+b^2}+a} \left ( b-\sqrt{c^2+b^2} , -c \right )[/tex].

EN EDICION

jumbito

[center][/center]

Guiarse por figura, usaremos geometria analitica.

Sea [tex]A=(b,c),B=(0,0),C=(a,0)[/tex].

Sea [tex]K=(x,y)[/tex] el circuncentro de [tex]\triangle ABC[/tex], entonces usando que la distancia de [tex]K[/tex] a los vertices es constante tenemos [tex]x^2+y^2=(x-a)^2+y^2=(x-b)^2+(x-c)^2[/tex], considerando la primera con la segunda tenemos [tex]x=\frac{a}{2}[/tex] y considerando la segunda con la tercera usando el valor de [tex]x[/tex] encontrado tenemos [tex]y=\frac{b^2+c^2-ab}{2c}[/tex].

Asi que [tex]K=(\frac{a}{2},\frac{b^2+c^2-ab}{2c})[/tex].

Sea [tex]D=(u,v)[/tex] el incentro de [tex]\triangle ABC[/tex], entonces usando que la distancia de [tex]D[/tex] a los lados es constante, tambien recordando que la magnitud de la proyeccion de un punto [tex](x_0,y_0)[/tex] a una recta de ecuacion [tex]Ax+By+C=0[/tex] es [tex]\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex] y notando que [tex]\stackrel{\leftrightarrow}{BA}: y-\frac{c}{b}x+0=0, \stackrel{\leftrightarrow}{BC}: y+0+0=0, \stackrel{\leftrightarrow}{CA}: y-\frac{c}{b-a}x-\frac{ca}{b-a}=0[/tex] tenemos:

[tex]\frac{|-\frac{c}{b}u+v+0|}{\sqrt{\frac{c^2}{b^2}+1}}=\frac{|0+v+0|}{\sqrt{0+1}}=\frac{|-\frac{c}{b-a}u+v-\frac{ca}{b-a}|}{\sqrt{\frac{c^2}{(b-a)^2}+1}}[/tex].

Considerando que queremos las bicectrices interiores, es decir asumiremos que lo que esta dentro de los modulos siempre es no negativo, podemos despejar [tex]u,v[/tex] y tenemos [tex]D= \frac{a}{\sqrt{c^2+(b-a)^2}-\sqrt{c^2+b^2}+a} \left ( b-\sqrt{c^2+b^2} , -c \right )[/tex].

EN EDICION

Peeeerro lo siento ya espere mucho, 0 puntos y la solucion es la siguiente: De acuerdo a tu figura, hagamos una inversión con centro en [tex]D[/tex] y radio [tex]r[/tex] (radio de la circunferencia inscrita), donde [tex]X'[/tex] es la imagen del punto [tex]X[/tex] bajo la inversión. No es dificil ver que [tex]A'\equiv H, B'\equiv I, C'\equiv J[/tex], luego la circunferencia circunscrita al triangulo [tex]ABC[/tex] queda transformada en la circunferencia que pasa por [tex]H,I,J[/tex], asi el centro de la circunferencia de inversion, el centro de la circunscrita al [tex]ABC[/tex] y el centro de la circunscrita al [tex]H,I,J[/tex], son colineales como se pedía.

Te toca proponer, y acuerdate que tienes que poner la sol. del P2