Daré mi solución al P2:
Lema 1 que un tablero de n por n es posible llenarlo con estos corchetes, podemos encontrar en una esquina que tenga una pieza como la de la figura 1, luego el único que puede llenar el espacio de abajo es el de la figura 2, luego poner uno mas abajo , hasta llegar a la esquina inferior izquierda donde ocurrira el mismo procedimiento y en todas las esquinas llenandose un especie de cierre.
[hide]
[/hide]
Lema 2 contaremos la cantidad de "aristas" de los corchetes que tendrá el cuadrado de n por n. Primero notemos que el cuadrado de uno por uno, tiene cuatro aristas. Demosnos cuenta que para cuadrado de n por n , la cantidad de aristas que tiene en su interior son las del cuadrado de n-1 por n-1 mas 2n verticales y 2n horizontales, viendolo como una sucesión, donde [tex]a_n=a_{n-1}+4n[/tex] ,
[tex]a_1=4[/tex]
[tex]a_2=a_1+4*2[/tex]
[tex]a_3=a_2+4*3[/tex]
...
[tex]a_n=a_{n-1}+4n[/tex]
Sumando todas estas ecuaciones tenemos el termino general [tex]a_n=2n(n+1)[/tex] , luego todos los cuadrados de n por n , con [tex]\ n \equiv 1 (mod \ 3)[/tex] no serán posible llenarlos ya que la cantidad de aristas no serán divisibles por 3 , y por lo tanto no serán posible llenarlos con corchetes.
Demostrarémos que todos los n de la forma [tex]6k+3[/tex] y [tex]6k+5[/tex] es posible llenarlos con estos corchetes, para esto usarémos inducción.
Acá dejare los casos bases respectivos, (puse las"puntas" de los corchetes en azul para que fuese mas claro)
[hide]
[/hide]
Ahora supongamos que un se cumple para un sierto k,(el cuadrado del medio será para el cual se cumple, haré la inducción a la vez, ya que es análoga y ademas solo uso el echo de que es impar),
Tomemos una esquina (inferior izquierda) sobre esta pondremos un corchete luego pondremos una por medio, como es una cantidad impar el n , terminará sobre otra esquina este procedimiento, procedimiento análogo se hace sobre los tres lados restantes (la primera de las dos imagenes). Ahora, en los espacios entremedios, pondremos otros solo que esta vez mirando en direccion contraria (la segunda) bastará hacer el cierre para terminar la inducción (notemos que aumenta 3 hacia arriba, 3 hacia abajo, 3 hacia la derecha y 3 hacia la izquierda por lo tanto , 6 horizontalmente y 6 verticalmente).
[hide]
[/hide]
[hide]
[/hide]
Ahora demostraremos que los de la forma 6k+2 y 6k no cumplen con lo pedido. Por contradicción asumamos que si cumplen, entonces por el lema uno debe tener el cierre, luego, consideremos el corchete de la esquina inferior, el espacio que está hacia la derecha arriba, no será posible llenarlo de niuna forma, por lo tanto hay que llenar el de la derecha, el que esta alado de este tampoco se podra poner ninguno por lo tanto habra que ponerle uno hacia la derecha nuevamente , analogamente hacia arriba y en las cuatro esquinas, como aca hay una cantidad par de "espacios", en algun momento se chocaran los corchetes, contradiccion, ya que en ese espacio no se podran poner ningun corchete.
[hide]
[/hide]
En conclusión, los cuadrados que cumplen son los de la forma 6k+3, 6k+5 y el 2.
Nota: el cuadrado de 2 por dos es un caso especial ya que es el unico cuadrado el cual no tendra el problema que use debido que no tendra el cuadrado de adentro.
Eso traté de explicarlo de la mejor forma posible si no quedo muy claro disculpen cualquier duda pregunten, creo que está bueno =).
