Sea [tex]ABCD[/tex] un cuadrilatero convexo inscrito en una semicircunferencia de diámetro [tex]AB[/tex] . Las lineas [tex]AC[/tex] y [tex]BD[/tex] se intersectan en[tex]E[/tex] y las lineas [tex]AD[/tex] y [tex]BC[/tex] en [tex]F[/tex] . La linea [tex]EF[/tex] intersecta a la semicircunferencia en [tex]G[/tex] y a la linea [tex]AB[/tex] en [tex]H[/tex] . Demuestra que [tex]E[/tex] es el punto medio del segmento [tex]GH[/tex] si y solo si [tex]G[/tex] es el punto medio de [tex]FH[/tex].
Como [tex]AC\perp BF[/tex] y [tex]BD\perp AF[/tex] (debido a la semicircunferencia), se cumple que [tex]E[/tex] es el ortocentro del [tex]\triangle AFB[/tex] y por ende [tex]FH\perp AB[/tex]. Sea [tex]\omega[/tex] la circunferencia que pasa por [tex]A,B,C,D[/tex] y [tex]G'[/tex] la segunda intersección de la recta [tex]FH[/tex] con [tex]\omega[/tex]. No es difícil ver que [tex]G'[/tex] corresponde a la reflexión de [tex]G[/tex] respecto al diámetro [tex]AB[/tex].
Supongamos que [tex]E[/tex] es el punto medio de [tex]GH[/tex]. Sean [tex]a=|GE|=|GH|[/tex] y [tex]b=|FG|[/tex]. Como el [tex]ADGG'[/tex] es cíclico (ya que todos sus vértices viven en [tex]\omega[/tex]), tenemos que [tex]FD\cdot FA=FG\cdot FG'=b(b+4a)[/tex] (1).
Por otra parte, como el [tex]ADEH[/tex] también es cíclico (debido a que [tex]\measuredangle ADE+\measuredangle AHE=90+90=180[/tex]), tenemos que [tex]FD\cdot FA=FE \cdot FH=(a+b)(2a+b)[/tex] (2)
De (1) y (2) obtenemos que [tex]b(b+4a)=(a+b)(2a+b)[/tex], y al simplificar se obtiene que [tex]b=2a[/tex], lo cual implica que [tex]|FG|=|GH|[/tex]
Para el otro lado de la doble implicancia, supongamos que [tex]G[/tex] es el punto medio de [tex]FH[/tex]. Llamemos [tex]u=|GE|[/tex] y [tex]v=|EH|[/tex]. Entonces [tex]|FG|=|HG'|=u+v[/tex], y por lo obtenido anteriormente se tendría que [tex](u+v)(3u+3v)=FD\cdot FA=(2u+v)(2u+2v)[/tex], lo cual al reducir equivale a que [tex]u=v[/tex] y por lo tanto [tex]GE=EH[/tex]. Con esto ya hemos finalizado [tex]\blacksquare[/tex]
Saludos :
