Definamos [tex]Q(x)[/tex] como sigue:
[tex]Q(x)=(x+1)P(x)-x[/tex]
Es claro que [tex]Q(x)[/tex] es un polinomio de grado [tex]n+1[/tex] que para [tex]k=0,1, \dots , n[/tex] vale:
[tex]Q(k)=(k+1)P(k)-k=(k+1) \dfrac{k}{k+1} -k=0[/tex]
Además [tex]Q(-1)=(-1+1)P(-1)-(-1)=1[/tex]
de modo que conocemos [tex]n+1[/tex] raíces de [tex]Q(x)[/tex], lo que lo determina completamente, salvo por el coeficiente director, es decir:
[tex]Q(x)=\alpha x(x-1) \dots (x-n)[/tex]
Para calcular [tex]\alpha[/tex] usamos nuestro dato adicional
[tex]1=Q(-1)=\alpha (-1)(-2) \dots (-(n+1)) \Rightarrow \alpha = \dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}[/tex]
De modo que [tex]Q(x)=\dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}x(x-1) \dots (x-n)[/tex]
Por lo tanto [tex]Q(n+1)=\dfrac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}(n+1)n \dots 1=(-1)^{n+1}[/tex]
sin embargo [tex]Q(n+1)=(n+2)P(n+1)-(n+1) \Rightarrow P(n+1)=\dfrac{n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}[/tex]
