Solución (no continuar leyendo si quiere intentarlo por su cuenta)
[hide]El tablero es 2009 x 2009, entonces cada casilla tiene coordenadas (i,j) con [tex]i,j\in\{0,1,...,2008\}[/tex].
A la casilla con coordenadas (i,j) corresponde el monomio [tex]X^iY^j[/tex]. Cada ficha 1x2 horizontal cubre dos casillas cuyos monomios suman [tex]X^iY^j(X+1)[/tex]. De la misma manera, cada ficha 1x3 vertical cubre tres casillas cuyos monomios suman [tex]X^iY^j(Y^2+Y+1)[/tex].
Supongamos que es posible cubrir el tablero como es descrito en el enunciado. Sumando los monomios correspondientes a todas las casillas del tablero, de dos maneras distintas, se obtiene lo siguiente:
[tex](X^{2008}+\ldots+X+1)(Y^{2008}+\ldots+Y+1)[/tex] = [tex]P(X,Y)\cdot(X+1)+Q(X,Y)\cdot(Y^2+Y+1)[/tex]
(disculpen la presentación de la igualdad en este formato, pero no tenía otra opción)
Para algunos polinomios P,Q (el lado izquierdo es sólo sumar por columnas y factorizar; el lado derecho es primero sumar los monomios de casillas cubiertas por fichas 1x2 horizontales y factorizar por X+1, para después sumar los monomios de casillas cubiertas por fichas 1x3 verticales y factorizar por Y^2+Y+1)
En la igualdad arriba, reemplace X=-1, Y=r (raíz cúbica de la unidad, distinta de 1) y el lado derecho es 0, pero el lado izquierdo es distinto de 0 (¡verificar!). Contradicción, por lo tanto no es posible cubrir el tablero como es descrito en el enunciado[/hide]
Hay más problemas que pueden ser resueltos con esta técnica, aunque no me queda claro si el comodín negro se refería a esto...
