[tex]\bf{Problema :}[/tex] Sea [tex]B_n[/tex] la cantidad de [tex]n[/tex] uplas ordenadas de enteros positivos [tex](a_1,a_2,...,a_n)[/tex] tales que [tex]a_1^{-1}+a_2^{-1}+...+a_n^{-1}=1[/tex]. Determine la paridad de [tex]B_{10}[/tex].
[tex]\bf{Solucion :}[/tex] Cualquier solucion con [tex]a_1\neq a_2[/tex] puede ser emparejada con otra solucion obtenida intercambiando la posicion de [tex]a_1[/tex] y [tex]a_2[/tex]. Luego [tex]B_{10}[/tex] tiene la misma paridad que el numero de soluciones con [tex]a_1=a_2[/tex]. De las soluciones con [tex]a_1=a_2[/tex], podemos parear aquellas en las que [tex]a_3\neq a_4[/tex] de la misma manera. Repitiendo ese argumento con [tex](a_5,a_6)[/tex], [tex](a_7,a_8)[/tex] y [tex](a_9,a_{10})[/tex], concluimos que la paridad de [tex]B_{10}[/tex] es la misma que el numero de soluciones con [tex]a_5=a_6, a_7=a_8, a_9=a_{10}[/tex], o sea, el numero de soluciones de [tex]\frac{2}{a_1}+\frac{2}{a_3}+\frac{2}{a_5}+\frac{2}{a_7}+\frac{2}{a_9}=1[/tex].
Como anteriormente podemos restringir la cantidad de soluciones con [tex]a_1=a_3[/tex] y [tex]a_5=a_7[/tex], que es igual al numero de soluciones de [tex]\frac{4}{a_1}+\frac{4}{a_5}+\frac{2}{a_9}=1[/tex]. Una vez mas restringimos [tex]a_1=a_5[/tex] y tenemos [tex]\frac{8}{a_1}+\frac{2}{a_9}=1[/tex]. Esta ecuacion puede factorizarse como [tex](a_1-8)(a_9-2)=16[/tex] que tiene [tex]5[/tex] soluciones que corresponden a las factorizaciones de [tex]16[/tex] como [tex]2^i\times 2^{4-i}[/tex] para [tex]i=0,1,2,3,4[/tex]. Entonces [tex]B_{10}[/tex] es impar.
Nota: Este es un problema propuesto en la Putnam del año 1997. Saludos!!
