Sean una semicircunferencia con diámetro [tex]AB[/tex] y centro [tex]0[/tex], y una recta que corta a la semicircunferencia en los puntos [tex]C[/tex] y [tex]D[/tex], y a la recta [tex]AB[/tex] en [tex]M[/tex] (siendo [tex]MD>MC[/tex] y [tex]MB
Aca dejo una imagen por si no quedo claro;
Para un punto [tex]X[/tex] del plano (distinto de [tex]O[/tex]), sea [tex]X'[/tex] su inverso bajo una inversión de centro [tex]O[/tex] y radio [tex]OA[/tex]. Al aplicar esta inversión, los circumcírculos de [tex]\triangle AOD[/tex] y [tex]\triangle BOC[/tex] se transforman en las rectas [tex]AD[/tex] y [tex]BC[/tex], respectivamente. Se sigue que [tex]K'[/tex] es la intersección de las dos rectas anteriormente mencionadas, y el punto [tex]M'[/tex] es un punto al interior del segmento [tex]AB[/tex]. Por propiedades de la inversión, nos resta demostrar que [tex]\angle K'M'O=90[/tex]. Pero como [tex]AC[/tex] y [tex]BD[/tex] son alturas del [tex]\triangle AKB[/tex], entonces probando que [tex](A,M',B,M)[/tex] forman una cuaterna armónica estamos listos.
Dados dos puntos [tex]P,Q[/tex] distintos de O, se tiene que [tex]P'Q'=\dfrac{r^2\cdot PQ}{OP\cdot OQ}[/tex] (donde [tex]r[/tex] es el radio de la inversión) y por ende [tex]\dfrac{AM'}{M'B}=\dfrac{AM}{MN}[/tex]. Por lo tanto (A,M',B,M) es una cuaterna armónica, que era lo que necesitábamos probar.
