Tercera Fecha 2009 - Nivel Mayor

Buster

P1. En la figura se muestra un cuadrado [tex]ABCD[/tex] de lado igual a [tex]1[/tex]. Si el [tex]\triangle BEF[/tex] es un triángulo equilátero que se traza en el interior del cuadrado como se especifica en la figura, ¿cuánto vale el área de dicho triángulo?

[center][/center]

P2. Sea [tex]p(x)[/tex] un polinomio de grado [tex]n[/tex] con coeficientes enteros, esto es, [tex]p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n[/tex] con [tex]a_0,a_1,\ldots,a_n\in \mathbb{Z}[/tex], tal que [tex]p(0)[/tex] y [tex]p(1)[/tex] son impares. Pruebe que [tex]p(x)[/tex] no tiene raíces enteras.

Aclaración: Las raíces de un polinomio son los valores de [tex]x[/tex] tales que [tex]p(x)=0[/tex].

Hint: Recuerde que [tex]b-1[/tex] divide a [tex]b^m-1[/tex], para cualquier valor entero de [tex]m[/tex].

P3. Sean [tex]a_1, a_2, a_3, a_4 ,a_5[/tex] las longitudes de los lados de un pentágono convexo y [tex]d_1,d_2,d_3,d_4,d_5[/tex] las longitudes de sus diagonales. Probar que

[center][tex]\frac{1}{2}< \frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{d_1+d_2+d_3+d_4+d_5}< 1[/tex][/center]

matthies

Consideremos 2 casos:

i) [tex]k[/tex] es par, entonces [tex]P(k)=a_0+k(a_1+a_2k+ \dots +a_n k^{n-1} )[/tex] como [tex]k[/tex] es par y [tex]a_0=P(0)[/tex] es impar, se tiene que [tex]P(k)[/tex] es impar si k es par.

ii)[tex]k[/tex] es impar, en este caso se tiene que [tex]a_ik^i[/tex] tiene la misma paridad que [tex]a_i[/tex], entonces [tex]P(k)=a_0+a_1k+ \dots +a_nk^n[/tex] tiene la misma paridad que [tex]a_0+a_1+ \dots + a_n=P(1)[/tex] tambien es impar.

[tex]\Rightarrow P(k)[/tex] es impar [tex]\forall k \in \mathbb{Z}[/tex], en particular no puede ser [tex]0[/tex], de donde se concluye lo pedido en el enunciado.