P1. Los tres corredores más rápidos del país se enfrentaron en una carrera, la cual sólo fue cubierta por tres medios de comunicación distintos. Los tres corredores son Jusaín, Afasa y Leron. Cada medio de comunicación entrega información sobre la carrera en dos afirmaciones, de las cuales se sabe que una es verdadera y la otra falsa.
· Medio 1: El ganador no fue Jusaín y el ganador no fue Afasa.
· Medio 2: Afasa llegó último y Jusaín llego antes que Leron.
· Medio 3: Afasa llegó antes que Leron y Leron llegó antes que Jusaín.
¿La información dada por los medios es suficiente para conocer el orden en que llegaron los corredores? Justifique.
P2. Sean [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] dos números naturales. Pruebe que [tex]ab(a+b)[/tex] no puede ser el cubo de algún número natural. (Puede serle de utilidad recordar el famoso último teorema de Fermat, según el cual la ecuación [tex]x^n+y^n=z^n[/tex] no tiene solución para [tex]x,y,z[/tex] enteros no nulos y [tex]n>2[/tex] entero).
P3. Sobre una mesa se encuentra una semiesfera (mitad de una esfera) de radio 1, con su parte plana tocando la mesa. En forma circular, rodeando la semiesfera, se colocan [tex]6[/tex] esferas de radio [tex]r[/tex] de tal forma que cada esfera toca la semiesfera, la mesa y las dos esferas adyacentes. Calcule el valor de [tex]r[/tex].
