P1. [hide]Sea [tex]t[/tex] el tiempo buscado, [tex]u[/tex] el intervalo entre cada ratón, [tex]v[/tex] el tiempo que corrió el último y [tex]n[/tex] el número total que corrió de éstos.
Del diagrama de la figura es claro que [tex]t=(n-1)u + v[/tex], de donde [tex]v=t-(n-1)u[/tex] es lo que corrió el último ratón.
El primer ratón corrió durante todo el tiempo [tex]t[/tex] y el último durante un tiempo [tex]t-(n-1)u[/tex]. Luego se tiene la ecuación [tex]t=10(t-(n-1)u)[/tex].
La suma de todos los tiempos que corrió cada ratón es [tex]t+(t-u)+(t-2u)+\ldots +(t-(n-1)u)=nt-(n-1)nu/2[/tex], que es equivalente a que cada ratón corriera un tiempo de [tex]55[/tex] minutos. Luego se tiene la ecuación [tex]nt-(n-1)nu/2=55n[/tex].
De ambas ecuaciones se obtiene [tex]t=100[/tex].
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P2. [hide]Los valores [tex]20[/tex], [tex]21[/tex] y [tex]29[/tex] forman una terna pitagórica, por lo que el triángulo [tex]ABC[/tex] es rectángulo en [tex]A[/tex]. Además, de acuerdo a los valores dados, los triángulos [tex]ABD[/tex] y [tex]ACE[/tex] son isósceles de bases [tex]\overline{AD}[/tex] y [tex]\overline{AE}[/tex] respectivamente.
Sean entonces [tex]\angle BAD= \alpha[/tex], [tex]\angle DAE=\beta[/tex] y [tex]\angle EAC=\gamma[/tex]; se tiene que [tex]\alpha + \beta + \gamma = 90[/tex] y, en el triángulo [tex]DAE[/tex], [tex]3\beta + \alpha + \gamma=180[/tex].
De ambas ecuaciones se obtiene [tex]\beta = 45[/tex], que es lo pedido.
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P3. [hide]Sea [tex]n[/tex] uno de los números buscados con cifras [tex]a,b,c,d,e[/tex] (en ese orden), y [tex]p[/tex] el producto de ellas. Entonces [tex]n=45p[/tex].
Como [tex]n[/tex] es múltiplo de [tex]5[/tex] se tiene que [tex]e=0[/tex] ó [tex]e=5[/tex]. Pero si [tex]e=0[/tex] entonces [tex]p=0[/tex] y [tex]n=0[/tex], que no tiene cinco cifras. Luego [tex]e=5[/tex].
Como [tex]n[/tex] termina en [tex]5[/tex], es impar; y por tanto de [tex]n=45p[/tex] se tiene que [tex]p[/tex] es impar. Luego todas las cifras de [tex]n[/tex] son impares.
Escribimos [tex]p=5q[/tex] y entonces se tiene [tex]10^4a+10^3b+10^2c+10d+5=45\cdot 5q[/tex], de donde dividiendo por [tex]5[/tex] se obtiene [tex]2\cdot 10^3a+2\cdot 10^2b+2\cdot 10 c+2d+1=45q[/tex]. De aquí [tex]2d+1[/tex] debe ser divisible por [tex]5[/tex] (pues todos los otros términos lo son). Como [tex]d[/tex] es impar la única opción posible es [tex]d=7[/tex].
Escribimos [tex]p=5q=35r[/tex] y entonces se tiene [tex]2\cdot 10^3a+2\cdot 10^2b+2\cdot 10 c+15=45\cdot 7r[/tex], de donde dividiendo por [tex]5[/tex] se obtiene [tex]4(100a+10b+c)+3=63r[/tex] que equivale a [tex]4(100a+10b+c)=60r+(3r-3)[/tex]. De aquí [tex]3r-3[/tex] debe ser divisible por [tex]4[/tex] (pues todos los otros términos lo son), es decir, [tex]3r-3=4s[/tex]. De aquí [tex]s[/tex] debe ser divisible por [tex]3[/tex], es decir, [tex]s=3t[/tex]. Luego [tex]r=4t+1[/tex] y [tex]100a+10b+c=15(4t+1)+3t=63t+15[/tex].
Como [tex]100a+10b+c[/tex] es impar entonces [tex]t[/tex] es par, es decir, [tex]t=2u[/tex] y se obtiene [tex]100a+10b+c=126u+15[/tex]. Como [tex]100a+10b+c[/tex] tiene tres cifras, entonces [tex]u[/tex] no puede tomar valores mayores a [tex]7[/tex].
Reemplazando los valores para [tex]u[/tex] se ve que la única solución posible es [tex]u=6[/tex], con lo que se obtiene finalmente que el número [tex]77175[/tex] es el único que satisface la condición del enunciado.[/hide]
