Segunda Fecha 2010 - Nivel Menor

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P1. Un grupo de científicos decidió estudiar el comportamiento de las hormigas negras y de las rojas, y para eso junto a ambas especies en un mismo agujero. Ahí comprobaron que suelen ser bastante agresivas, pues cada vez que dos de cualquier color se topaban empezaban a pelear, pero lo más interesante es que justo después de empezar la pelea siempre llegaba una tercera a observar.

Las hormigas negras destacaban por ser solidarias, pues siempre se apoyaban en el combate, incluso si era contra otra negra, que en ese caso terminaba muerta. En cambio, las hormigas rojas destacaban por su furia, pues no sólo podían enfrentar a dos negras juntas y matarlas, sino que preferían ante todo pelear entre ellas siempre uno contra uno hasta morir ambas por cansancio, de modo que ninguna otra se inmiscuía al verlas; más aún, dejaban de pelear contra una negra si llegaba otra roja a observar y se lanzaban contra ella, aprovechando de escapar la negra.

Sabiendo que en un pricipio habían 101 hormigas de cada color en el agujero y que al final sólo queda una, determine el color de dicha hormiga.

P2. Considere los números [tex]1810[/tex] y [tex]2010[/tex]. Encuentre cuántos números distintos de cuatro cifras pueden formarse tomando dos cifras del primero y dos del segundo. (Se consideran válidos aquellos que empiezan por [tex]0[/tex]).

P3. Pruebe que un cuadrado cualquiera siempre puede ser recortado en [tex]n[/tex] cuadrados más pequeños (con [tex]n[/tex] distinto de [tex]2[/tex], [tex]3[/tex] y [tex]5[/tex]), no necesariamente todos del mismo tamaño.

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P1. [hide]Las hormigas rojas sólo mueren cuando pelean contra otra roja, falleciendo ambas. Es decir, siempre que su población disminuye lo hace de dos en dos, por lo que hay siempre un número impar de ellas. En cambio las hormigas negras pueden morir solas o de a dos, ya sea peleando contra otras dos negras o una roja, respectivamente, por lo que su población puede varíar entre par e impar. Como al final sólo queda una, que es impar, entonces debe ser roja por lo ya mencionado.[/hide]

P2. [hide]Al armar un número de cuatro cifras como los pedidos vemos que:

- El [tex]2[/tex] puede usarse hasta una vez.

- El [tex]8[/tex] puede usarse hasta una vez.

- El [tex]0[/tex] sólo puede usarse tres veces en el [tex]0001[/tex], [tex]0008[/tex] y sus permutaciones ([tex]8[/tex] números distintos); en cualquier otro caso hasta dos veces.

- El [tex]1[/tex] sólo puede usarse tres veces en el [tex]1110[/tex], [tex]1112[/tex] y sus permutaciones ([tex]8[/tex] números distintos); en cualquier otro caso hasta dos veces.

- Si todos los dígitos son distintos (lo cual es posible) entonces hay [tex]4\cdot3\cdot2\cdot1=24[/tex] números distintos.

- Si se repiten ambos el [tex]1[/tex] y el [tex]0[/tex], entonces hay [tex]6[/tex] números distintos.

- Si se repite el [tex]0[/tex] dos veces y los otros dos dígitos son distintos, entonces los otros espacios (que no necesariamente están juntos) pueden ser llenados de [tex]3\cdot 2=6[/tex] formas. Como hay también hay seis formas de ubicar la pareja de [tex]0[/tex] en los cuatro espacios, entonces se tienen [tex]6\cdot 6=36[/tex] números distintos.

- Si se repite el [tex]1[/tex] dos veces y los otros dígitos son distintos, entonces análogo a lo anterior se tienen [tex]36[/tex] números más.

Luego, como se contaron todos los casos posibles, en total hay [tex]8+8+24+6+36+36=118[/tex] números de cuatro cifras distintos.[/hide]

P3. [hide]Es fácil ver que un cuadrado se puede recortar en otros [tex]4[/tex] mediante una cruz central:

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Esto también muestra que para cualquier división en [tex]k[/tex] cuadrados es posible obtener una de [tex]k + 3[/tex] simplemente volviendo a recortar uno de ellos en [tex]4[/tex] por una cruz central. Entonces de la división en [tex]4[/tex] obtenemos la división en [tex]7,10,13,\ldots[/tex] (todos los números de la forma [tex]3a + 1[/tex]).

Luego sólo basta encontrar las divisiones en [tex]6[/tex] y [tex]8[/tex] cuadrados, pues de ellas se obtienen análogamente a lo anterior las divisiones en [tex]9,12,15,\ldots[/tex] (números de la forma [tex]3a[/tex]) y en [tex]11,14,17,\ldots[/tex] (números de la forma [tex]3a + 2[/tex]), respectivamente. Tales divisiones son:

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