P1. [hide]El cuadrilátero AMDN es un rectángulo por los tres ángulos rectos de su interior. Entonces, por ser diagonales de un rectángulo se tiene que MN y AD miden siempre lo mismo. Luego, la mínima distancia entre M y N se alcanza cuando D está lo más cerca posible de A, es decir, cuando se ubica al pie de su altura.
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P2. [hide]Al armar un número de cuatro cifras como los pedidos vemos que:
- El [tex]2[/tex] puede usarse hasta una vez.
- El [tex]8[/tex] puede usarse hasta una vez.
- El [tex]0[/tex] sólo puede usarse tres veces en el [tex]0001[/tex], [tex]0008[/tex] y sus permutaciones (en estos números la suma es [tex]9999[/tex]); en cualquier otro caso hasta dos veces.
- El [tex]1[/tex] sólo puede usarse tres veces en el [tex]1110[/tex], [tex]1112[/tex] y sus permutaciones (en estos números la suma es [tex]8888[/tex]); en cualquier otro caso hasta dos veces.
- Si todos los dígitos son distintos (lo cual es posible) entonces hay [tex]4\cdot3\cdot2\cdot1=24[/tex] números distintos. En estos casos cada dígito aparece seis veces en cada posición, por lo que su suma es [tex]6\cdot(0+1+2+8)\cdot(1000+100+10+1)=73326[/tex].
- Si se repiten ambos el [tex]1[/tex] y el [tex]0[/tex], entonces hay seis números distintos y su suma es [tex]3333[/tex].
- Si se repite el [tex]0[/tex] dos veces y los otros dos dígitos son distintos, entonces los otros espacios (que no necesariamente están juntos) pueden ser llenados de [tex]3\cdot 2=6[/tex] formas. Como hay también hay seis formas de ubicar la pareja de [tex]0[/tex] en los cuatro espacios, entonces se tienen [tex]6\cdot 6=36[/tex] números distintos, y como cada dígito ([tex]1[/tex], [tex]2[/tex] y [tex]8[/tex]) aparece en [tex]24[/tex] de ellos, entonces aparece [tex]6[/tex] veces en cada posición, por lo que su suma es nuevamente [tex]73326[/tex].
- Si se repite el [tex]1[/tex] dos veces y los otros dígitos son distintos, entonces análogo a lo anterior se tienen [tex]36[/tex] números más. Los dígitos [tex]2[/tex] y [tex]8[/tex] aparecen seis veces por posición, mientras que el [tex]1[/tex] aparece [tex]18[/tex] veces en cada una, por lo que la suma es [tex](6\cdot(2+8)+18\cdot1)\cdot(1000+100+10+1)=86658[/tex].
Luego, como se contaron todos los casos posibles, la suma buscada es [tex]9999+8888+73326+3333+73326+86658=255530[/tex].[/hide]
P3. [hide]Es fácil ver que un triángulo rectángulo cualquiera siempre es recortado en dos isósceles por la transversal de gravedad que cae en la hipotenusa. Luego, como un triángulo cualquiera siempre se puede recortar en dos triángulos rectángulos mediante una altura interior, entonces siempre se puede recortar en 4 triángulos isósceles de acuerdo a lo anterior:
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Esto también muestra que para cualquier división en [tex]k[/tex] triángulos isósceles es posible obtener una de [tex]k+3[/tex] simplemente recortando uno de ellos en otros 4 por el método descrito. Entonces de la división en [tex]4[/tex] obtenemos la división en [tex]7,10,13,\ldots[/tex] y todos los números de la forma [tex]3a+1[/tex].
Luego sólo basta encontrar las divisiones en [tex]5[/tex] y [tex]6[/tex] triángulos isósceles, pues de aquí se obtienen análogamente a lo anterior todos los números de la forma [tex]3a-1[/tex] y [tex]3a[/tex] respectivamente.
La división en [tex]6[/tex] es una altura en el triángulo y otra en uno de los triángulos rectángulos, eso deja tres triángulos rectángulos en total, de donde se forman los isósceles (triángulo a la izquierda).
La división en [tex]5[/tex] se separa en dos casos: triángulo no equilátero y equilátero. Si no es equilátero se copia un lado sobre otro mayor formando un isósceles, luego se divide el restante por una altura, de donde salen los isósceles (triángulo central). Si es equilátero se traza una cuerda paralela a un lado y cercana a un vértice formando un isósceles; el trapecio isósceles que sobra es cíclico con el circuncentro dentro de él, por lo que los radios forman los 4 isósceles que faltan (triángulo a la derecha).
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