P1. [hide]No puede haber más de un culpable, y sólo Anita ó Kiko podrían serlo.

Si Moncho fuera culpable entonces estaría mintiendo, y por tanto Anita y Kiko serían inocentes. Pero Kiko acusa a Anita, lo que es una contradicción. Luego Moncho no puede en ningún caso ser culpable.

No pueden Anita y Kiko ser ambos culpables a la vez, pues entonces Kiko estaría diciendo la verdad, lo que es una contradicción. Luego sólo uno de los dos puede ser el culpable. Sin embargo, no es posible determinar cuál, pues ambos casos son consistentes con las declaraciones.[/hide]

P2. [hide]Sean [tex]\angle DCE= \alpha[/tex] y [tex]\angle ACD=\angle ECB= \beta[/tex].

De la figura, en el triángulo [tex]ACE[/tex] se tiene que [tex]2\alpha + 2 \beta =180[/tex], de donde [tex]\alpha+\beta=90[/tex]. Luego el triángulo [tex]DCB[/tex] es rectángulo en [tex]C[/tex].

Entonces, por ser [tex]CE[/tex] transversal de gravedad en un triángulo rectángulo, se tiene que [tex]CE=DE=EB[/tex] (esto también puede ser deducido mirando el triángulo rectángulo [tex]ACE[/tex]). Luego el triángulo [tex]DCE[/tex] es equilátero.

Entonces [tex]\alpha = 60[/tex] es lo pedido (esto también puede ser deducido notando que los triángulos rectángulos con la medida de la hipotenusa igual al doble de un cateto, son aquellos que resultan de dividir un equilátero por la mitad).

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P3. [hide]En todas las secuencias volverá a aparecer [tex]2010[/tex] infinitas veces.

Para ejemplificar, tomemos la primera de ellas, donde cada dígito queda determinado por los dos anteriores (incluyendo los últimos dos de [tex]2010[/tex]). Esto también implica que cada dígito queda determinado por los dos posteriores, es decir, dados dos dígitos consecutivos en la secuencia, es posible completarla tanto hacia adelante como hacia atrás.

De lo anterior, es claro que si [tex]2010[/tex] aparece al menos dos veces en la secuencia, entonces aparecerá infinitas veces; pues existirá un período entre la aparición de ambos números que volverá a repetirse.

Más aún, basta que un número cualquiera de dos cifras aparezca al menos dos veces en la secuencia para asegurar que [tex]2010[/tex] también lo hará; pues dicho número es determinado y determina que la secuencia empiece con [tex]2010[/tex], por lo que su repetición requiere que haya otro [tex]2010[/tex] entre medio.

Ahora bien, como los números de dos cifras son finitos ([tex]100[/tex] en total, desde el [tex]00[/tex] al [tex]99[/tex]) y la secuencia es infinita, entonces no todos los números de dos cifras en la secuencia pueden ser distintos, por lo que necesariamente habrán repeticiones (más aún, puede asegurarse que entre [tex]102[/tex] dígitos consecutivos siempre hay al menos una repetición).

Lo anterior es aplicable a las otras dos secuencias, de donde se concluye.

(Nótese que no tiene importacia el tipo de relación entre los dígitos, sino solamente que exista y que desde el principio se cumpla).[/hide]