P1. [hide]Sea [tex]a+1,\ldots, a+k[/tex] una lista de [tex]k[/tex] números consecutivos que suman [tex]2010[/tex]. Entonces [tex]ak+\frac{k(k+1)}{2}=2010[/tex] de donde [tex]k(2a+k+1)=2\cdot 2010=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 67[/tex].
Como [tex]k<2a+k+1[/tex], entonces [tex]k<67[/tex]. Además si [tex]k[/tex] fuese par, entonces [tex]2a+k+1[/tex] sería impar, y viceversa.
Luego [tex]k[/tex] puede tomar los valores [tex]3[/tex],[tex]4[/tex],[tex]5[/tex],[tex]12[/tex],[tex]15[/tex],[tex]20[/tex] y [tex]60[/tex]. Para cada uno las listas respectivas son: del [tex]669[/tex] al [tex]671[/tex], del [tex]501[/tex] al [tex]504[/tex], del [tex]400[/tex] al [tex]404[/tex], del [tex]162[/tex] al [tex]173[/tex], del [tex]127[/tex] al [tex]141[/tex], del [tex]91[/tex] al [tex]110[/tex], y del [tex]4[/tex] al [tex]63[/tex]. De aquí sirven cualquiera cinco listas.[/hide]
P2. [hide]Notemos que la pirámide presenta simetría con respecto a la vertical central, por lo que consideraremos su mitad izquierda. Pero ésta también presenta simetría con respecto a la diagonal, por lo que consideraremos su mitad inferior (4 pisos). En esta última, para cada letra se encuentran todas las posteriores que permiten completar la frase.
Además, dada una letra, el número de caminos distintos para terminar la frase depende del número de caminos de las letras posteriores, es igual a la suma de ambas opciones. Por tanto, a partir del final de la frase, podemos encontrar el número de caminos de cada letra sumando hacia el principio como muestra la figura.
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[/center]
Como queremos leer la frase entera sumamos los valores para la primera letra ([tex]M[/tex]), ponderados de acuerdo a la simetría de la figura: [tex]3\cdot (1)+4\cdot (7+21+35)=255[/tex]
La respuesta es que hay [tex]254[/tex] formas de leer la frase además de la vertical central.[/hide]
P3. [hide]a) Desarrollamos
[tex](x\odot y)\odot z= (2+xy-2y)\odot z = 2 + ( 2 + xy - 2y ) z - 2 z[/tex]
[tex]= 2 + xyz - 2yz[/tex].
b) Generalizando la parte anterior puede verse que [tex](\ldots(x_1\odot x_2)\odot x_3)\ldots) \odot x_n= 2+x_1x_2\ldots x_n-2x_2x_3\ldots x_n[/tex]
Por tanto, lo pedido es [tex]2+1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot 2\cdot 3-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot 2\cdot 3=2+1-2=1[/tex].
c) De la misma forma, lo pedido es
[tex]2+1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \ldots \cdot \frac{1}{20}\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 20 - 2 \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \ldots \cdot \frac{1}{20}\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 20[/tex]
[tex]=2+1-2=1[/tex][/hide]
