P1. [hide]Sea [tex]a+1,\ldots, a+k[/tex] una lista de [tex]k[/tex] enteros positivos consecutivos que suman [tex]2010[/tex]. Entonces [tex]ak+\frac{k(k+1)}{2}=2010[/tex] de donde [tex]k(2a+k+1)=2\cdot 2010=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 67[/tex].
Como [tex]k<2a+k+1[/tex], entonces [tex]k<67[/tex]. Además si [tex]k[/tex] fuese par, entonces [tex]2a+k+1[/tex] sería impar, y viceversa.
Luego [tex]k[/tex] puede tomar los valores [tex]3[/tex],[tex]4[/tex],[tex]5[/tex],[tex]12[/tex],[tex]15[/tex],[tex]20[/tex] y [tex]60[/tex]. Para cada uno las listas respectivas son: del [tex]669[/tex] al [tex]671[/tex], del [tex]501[/tex] al [tex]504[/tex], del [tex]400[/tex] al [tex]404[/tex], del [tex]162[/tex] al [tex]173[/tex], del [tex]127[/tex] al [tex]141[/tex], del [tex]91[/tex] al [tex]110[/tex], y del [tex]4[/tex] al [tex]63[/tex].[/hide]
P2. [hide]Notemos que la pirámide presenta simetría con respecto a la vertical central, por lo que consideraremos su mitad izquierda. Pero ésta también presenta simetría con respecto a la diagonal, por lo que consideraremos su mitad inferior. En esta última, para cada letra se encuentran todas las posteriores que permiten completar la frase, excepto para la segunda [tex]R[/tex] (abajo a la derecha) que además podría terminar en la [tex]O[/tex] de su derecha, por lo que ha sido agregada en la figura (es decir, puede terminar en caulquiera de las cuatro [tex]O[/tex] que le rodean). Por tanto, en la simetría respecto a la diagonal hay una diferencia entre las [tex]R[/tex] finales.
Además, dada una letra, el número de caminos distintos para terminar la frase depende del número de caminos de las letras posteriores, es igual a la suma de ambas opciones. Por tanto, a partir del final de la frase, podemos encontrar el número de caminos de cada letra sumando hacia hacia el principio. Para aprovechar la simetría, contamos las formas de poder llegar a una de las [tex]R[/tex] finales, como muestra el cuadro:
[attachment=0]tabla2.PNG[/attachment]
Luego hay [tex]2\cdot(1+11+55+165+330+462)=2048[/tex] formas de llegar hasta una de las [tex]R[/tex] finales, y por tanto otras [tex]2048[/tex] formas distintas de llegar a la otra. Para completar la frase hay [tex]7[/tex] maneras de escoger la [tex]O[/tex] (tres derivadas de una [tex]R[/tex] y cuatro derivadas de la otra), lo que hace un total de [tex]7\cdot 2048= 14336[/tex] frases enteras. Si consideramos ahora la otra mitad de la pirámide hay un total de [tex]2\cdot 14336 -4=28668[/tex] formas de leer la frase (restamos las [tex]4[/tex] formas que estamos repitiendo en la cuenta de la vertical central).
La respuesta es que hay [tex]28667[/tex] formas de leer la frase además de la vertical central.[/hide]
P3. [hide]a) Desarrollamos [tex]\phi^2=\left(\frac{1+\sqrt5}{2} \right)^2=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}=\frac{3+\sqrt5}{2}=\frac{1+\sqrt5}{2}+1=\phi+1[/tex].
Multiplicando por [tex]\phi^{n-2}[/tex] se tiene [tex]\phi^{n}=\phi^{n-1}+\phi^{n-2}[/tex] para [tex]n\in \mathbb{Z}[/tex].
Por tanto, [tex]\phi^n+\phi^n=\phi^n+(\phi^{n-1}+\phi^{n-2})[/tex]
[tex]=(\phi^n+\phi^{n-1})+\phi^{n-2}=\phi^{n+1}+\phi^{n-2}[/tex].
b) Cada vez que se realiza un reemplazo la suma total de los exponentes disminuye en [tex]1[/tex]. Como al principio la suma es [tex]0[/tex], entonces luego de [tex]n[/tex] reemplazos la suma será [tex]-n[/tex].
Supongamos que no es posible lograr que todos las potencias sean distintas, entonces podemos hacer reemplazos disminuyendo la suma de los exponentes indefinidamente. Esto implica que podemos disminuir el menor de los exponentes indefinidamente; en efecto, de no ser así, la suma de los exponentes estaría acotada inferiormente (contradiciendo lo primero).
Consideremos tres enteros consecutivos fijos entre [tex]0[/tex] y el menor de los exponentes. Como un exponente sólo puede disminuir de a dos unidades, entonces uno de los tres números fue en algún momento el exponente de una potencia. Más aún, y como consecuencia, uno de los tres sigue siendo el exponente de una potencia; esto pues dadas dos potencias con el mismo exponente, el cual está entre tres números consecutivos fijos, entonces al hacer el reemplazo siempre una de las potencias queda con un exponente dentro de los mismos tres números.
Por tanto, cada trío [tex](0,-1,-2),(-3,-4,-5),\ldots[/tex], hasta llegar al menor de los exponentes, contiene un exponente de alguna de las potencias. Pero el número de potencias está fijo ([tex]k[/tex]) mientras que cada vez se consideran más tríos mientras más reemplazos se hagan, llegando entonces a haber más exponentes que potencias (contradicción).
Se concluye entonces que en algún momento al hacer los reemplazos todas las potencias serán distintas (ya no se podrán hacer más reemplazos).[/hide]
