sabi este problema lo lei en un libro y me salio en una aburria clase de lenguaje bueno, nose si es la solucion mas corta pero esta es la mia,(cambie las letras esqe ya tenia echo el dibujo y me da alta arreglarlo xdd)
primero unas cosas ,
Sea CF la tercera altura, sea G la interseccion de las prolongaciones de FE con BC, sea [tex]w_1, w_2[/tex] las circunferencias circunscritas de ABC y la de AHE respectivamente. Notemos que [tex]GC\cdot GB =GE\cdot GF[/tex] (cíclico CBFE) por tanto G pertenece al eje radical de las circunferencias [tex]w_1,w_2[/tex] es decir G pertenece a la recta qe pasa por AP y por tanto G -P-A son coolineales.
Ahora, por lo cíclicos, [tex]\angle BCA =\angle AHE =\angle EPG[/tex] por tanto el cuadrilatero GPEC es cíclico.
a) BD=3a y DC=a [tex]\ \Rightarrow[/tex] P-D-E son coolineales.
Claramente [tex]\ \angle CGA =\angle AEP (i)[/tex] (por el cílico PECG)
Como [tex]\ \angle ABC =\angle DEC (ii)[/tex] (por cíclico ABDE)
Notemos que (B,D,C,G) es una cuaterna armonica, entonces
[tex]\ \dfrac{BG}{GC}=3 \Rightarrow \dfrac{BC+CG}{CG}=3 \Rightarrow \dfrac{4a+CG}{CG} =3 \Rightarrow CG=2a[/tex]
Entonces ABG es isóceles puesto que su altura cae en el punto medio, por tanto, [tex]\angle ABC= \angle CGA[/tex] coombinando esto con (i)y con (ii), obtenemos que [tex]\ \angle DEC =\angle AEP[/tex] por tanto P-D-E son coolineales.
b) P-D-E son coolineales entonces BD=3a y DC=a.
Como [tex]\ \angle DEC =\angle AEP[/tex] ,[tex]\ \angle CDE =\angle ABC[/tex](cíclico ABDE) y [tex]\ \angle AEP =\angle AGB[/tex] (cíclico PECG) se deduce que ACG es isóceles, y por tanto D es el punto medio de GB, ahora como (B,D,C,G) es una cuaterna armonica,
[tex]\ \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BG}{CG} \Leftrightarrow \dfrac{\frac{CG}{2}}{DC}= \dfrac{BG}{CG} \Rightarrow 2DC=CG[/tex] osea [tex]\ BD=DG=3CD[/tex]
Saludos.
