(con esta respuesta sale casi directo xdd)
Sean M, N, P los puntos medios de FE, FD y DE respectivamente. Consideremos una inversion respecto a la circunferencia inscrita del triangulo ABC, es trivial ver que [tex]\ IE^2= IM \cdot IA , ID^2 = IP \cdot IC, IF^2= IN \cdot IB[/tex] por tanto si invertimos la circunferencia circunscrita del triangulo MNP (que es la circunferencia de los 9 punto del triangulo DEF, llamemosle Q al centro de esta) se transformará en la circunferencia circunscrita del triángulo ABC, y por tanto Q, I (centro de inversión) y O son coolineales, es sabido que el centro de la circunferencia de los 9 puntos es coolineal con el ortocentro del triángulo y el circuncentro de este, es decir H, Q, I (centro de la circunferencia circunscrita de FED) sn coolineales, por tanto I,O,H son coolineales.
Saludos.
