Tangencia de circulos y bisectriz

xd13g0x

Sean [tex]W_1[/tex] y [tex]W_2[/tex] dos circunferencias tangentes interiormente en [tex]P[/tex], con [tex]W_1[/tex] dentro de [tex]W_2[/tex]. Sea AC una cuerda de [tex]W_2[/tex], que ademas es tangente a [tex]W_1[/tex] en [tex]B[/tex]. Demuestre que [tex]PB[/tex] biseca a [tex]APC[/tex].

El problema se puede atacar de muchas maneras, asi que se esperan al menos 3 soluciones para pasar a resueltos.

pedanticanarchy

Aqui me aporto una solucion con homotecias:

Sean [tex]G[/tex] y [tex]E[/tex] las intersecciones de [tex]W_1[/tex] con [tex]PA[/tex] y [tex]PC[/tex] respectivamente. Como las circunferencias [tex]W_1[/tex] y [tex]W_2[/tex] son homoieticas con respecto a [tex]P[/tex] se tiene que [tex]GE[/tex] es paralela a [tex]AC[/tex], luego [tex]ABG=BGE=BPE=BPC[/tex] (por paralelismo y conciclicidad), pero tambien [tex]ABG=BPA[/tex] (angulos semi-inscritos e inscritos), entonces, por transitividad [tex]BPA=BPC[/tex], demostrando lo pedido.

Saludos

elgik

@Negroide: ¿Ves que si sirven las homotecias? te odio :

elgik

El resultado se puede generalizar un poco más. Digamos que la cuerda [tex]AC[/tex] no es tangente,si no que secante a [tex]W_1[/tex] en [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex] (con [tex]X[/tex] entre [tex]A[/tex] e [tex]Y[/tex]). Demostraremos que los segmentos [tex]PX[/tex] y [tex]PY[/tex] son isogonales.

Sea [tex]T[/tex] la intersección del segmento [tex]PC[/tex] con [tex]W_1[/tex]. Note que el ángulo formando por la tangente común a dichas circunferencias (que pasa por [tex]A[/tex]) es igual al [tex]\angle{TXP}[/tex] y al [tex]\angle{CAP}[/tex], por lo tanto [tex]\angle{TXP}=\angle{CAP}[/tex]. De esto se sigue que [tex]\angle{APX}=\angle{YXT}[/tex], pero [tex]\angle{YXT}=\angle{YPT}[/tex], luego [tex]\angle{APX}=\angle{YPT}[/tex].

Si se da el caso particular en que [tex]X=Y[/tex], tenemos el resultado pedido por xD13G0x [tex]\blacksquare[/tex]