Ciclicidad y paralelismo

pedanticanarchy

Dado un triangulo ABC, sean P y Q puntos en BC. Construya C1 tal que el cuadrilatero convexo APBC1 sea ciclico, QC1 sea paralelo a CA y C1 y Q se encuentren en semiplanos opuestos respecto de AB. Tambien construya B1 tal que el cuadrilatero convexo APCB1 sea ciclico, QB1 sea paralelo BA y B1 y Q se encuentren en semiplanos opuestos respecto de AC. Pruebe que el cuadrilatero B1C1PQ es ciclico.

xd13g0x

Primero probamos que B1, A y C1 son colineales. Sea D la interseccion de C1A con el circuncírculo de CPA. Se tiene que [tex]$\angle C_1QB=\angle ACB=\angle ADP$[/tex] de donde C1DQP es ciclico. Luego [tex]$\angle DQC=\angle C_1AP=\angle ABP$[/tex] de donde DQ es paralela a AB, osea D=B1. Luego concluimos que A, B1 y C1 son colineales. Finalmente [tex]$\angle B_1QC=\angle ABC=\angle AC_1P=\angle B_1C_1P$[/tex] de donde B1C1PQ es ciclico.

pedanticanarchy

Correcto

Saludos