Numeremos los puntos como x_1 hasta x_n. Sea k_i, para i\in\{1,\dots,n\}, la cantidad de rectas distintas que pasan por el punto i.
Por otra parte, llamemos m a la cantidad de rectas distintas que se forman al unir los pares de puntos y numerémolas desde L_1 hasta L_m: L_1, \dots, L_m. Si llamamos $s_j = {i: x_i\in L_j}$, para j\in\{1,\dots,n\}, entonces
\sum_{i=1}^ n k_i = \sum_{j=1}^m s_j\ \ (1)
Notemos también que si x_i\ni L_j, entonces k_j\geq s_j\ \ (2), pues al menos hay una recta que pasa por x_i y por cada punto de x_j.
Supongamos sin pérdida de generalidad que k_n es el menor de los k_i y que las rectas L_1, L_2,\dots,L_{k_n} son las que pasan por x_n. Como cada recta contiene al menos dos puntos de los n, entonces podemos elegir por cada L_i un punto x_i tal que x_i\neq x_n, para i\in\{1,\dots,k_n\}. Además, como las rectas son distintas, tenemos que x_i\ni L_j para i\neq j, i,j\in\{1,\dots,n\}.
Usando la propiedad (2) y el hecho de que k_n > 1 (pues si no, todos los puntos serían colineales), tenemos la siguiente lista de desigualdades:
\begin{aligned}
k_1 &\geq s_2 \\
k_2 &\geq s_3 \\
&\vdots \\
k_{k_n-1} &\geq s_{k_n} \\
k_n &\geq s_j,\ j>k_n
\end{aligned}
Como k_n es el mínimo, entonces tenemos que s_j\geq k_n para j\in\{1,\dots,m\}. Volviendo a la igualdad (1), tenemos que
n k_n \leq \sum_{i=1}^ n k_i = \sum_{j=1}^m s_j \leq m k_n,
de lo que se concluye lo pedido.
Como dato extra, este resultado se llama Teorema de De Bruijin-Erdős y es válido en casos más generales que el plano euclidiano. En el caso del plano euclidiano, hay una demostración que usa el Teorema de Sylvester-Gallai e inducción.
