Haciendo a=b=c=d=-1 obtenemos [tex]\frac{3}{4}\le k[/tex]. Haciendo a=b=c=d=1/2 obtenemos [tex]\frac{3}{4}\ge k[/tex]. Solo resta verificar si k=3/4 funciona. Demostraremos que si.
Hacemos a=A-1, b=B-1, c=C-1, d=D-1. con A, B, C, D reales no negativos. Remplazando a,b,c,d y k=3/4, expandiendo y cancelando la desigualdad se transforma en
[tex]4(A^3+B^3+C^3+D^3)+9(A+B+C+D)\geq 12(A^2+B^2+C^2+D^2)[/tex] (1)
Pero por la desiguadad AM-GM tenemos [tex]4A^3+9A\ge 2\sqrt{4A^3\cdot 9A}=12A^2[/tex]. Obtenemos lo mismo con B,C y D y luego sumamos las desigualdades y verificamos (1).
Asi, el unico valor que da es k=3/4
