[spoiler]Supongamos que AB>AC. Sean H,M y N, el pie de altura por A, y los puntos medios de AB y AC, respectivamente. Llamemos a y b a los angulos BAH y CAH. MN corta a BE y CF en P y Q, respectivamente. Hacemos AH=1.
Los angulos DBA y DAC son iguales asi que los triangulos DBA y DAC son semejantes de aqui obtenemos que AD=(AC)(BD)/AB. Por potencia de D respecto al circuncirculo de ABC tenemos que AD^2=(BD)(CD), al reemplazar y simplificar nos queda que (AB/AC)^2= BD/CD (*).
Por otro lado AHB es semejante a MPE, luego BH=tg(a), PM=tg(a)/2, PE=tg^2(a)/2 y como PB=1/2 es BE=1/2(tg^2(a)+1), de igual manera CF=1/2(tg^2(b)+1). Asi, BE/CF=(tg^2(a)+1)/(tg^2(b)+1) (**)
Usando Pitagoras tenemos que AB^2=BH^2+AH^2 =(tg^2(a)+1) de igual manera AC^2=(tg^2(b)+1). Finalmente (AB/AC)^2=(tg^2(a)+1)/(tg^2(b)+1)=(*)=(**), es decir BD/CD=BE/CF, esto demuestra la colinealidad pedida.[/spoiler]
