Por innduccion probemos que [tex]a_n\le \dfrac{1}{2^n}[/tex]. El caso base es obvio pues es la hipotesis del problema, ahora supongamos que es cierto para cierto natural N y seguiremos la demostracion para N+1, entonces
[center][tex]a_{n+1}=\dfrac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}=\dfrac{a_n^2}{(a_n-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}}\le \dfrac{a_n^2}{(a_n-\dfrac{1}{2})^2}[/tex][/center]
Ahora [tex]a_n\le\dfrac{1}{2^n}[/tex] lo que implica que [tex]\dfrac{1}{2}-a_n\ge \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^n}>0[/tex], entonces es cierto que
[center][tex]a_{n+1}\le\dfrac{a_n^2}{(a_n-\dfrac{1}{2})^2}\le \dfrac{\dfrac{1}{2^{2n}}}{(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^n})^2}=\dfrac{1}{(2^{n-1}-1)^2}\le\dfrac{1}{2^{n+1}}[/tex][/center]
así concluimos que [tex]\displaystyle\sum_{k=1}^na_k\le\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}<1[/tex]
