Un punto E yace en la altura BD de un tringulo ABC, con AEC=90. Llamamos O1 y O2 a los circuncentros de los triangulos AEB y CEB, respectivamente y F y L a los puntos medios de AC y O1O2 respectivamente. Demuestre que los puntos F,L y E son colineales
Primero veamos que [tex]O_1[/tex] y [tex]O_2[/tex] pertenecen a la mediatriz de [tex]BE[/tex], esto significa que [tex]O_1O_2\perp BE[/tex]. Como además [tex]BE\perp AC[/tex], es directo que [tex]O_1O_2//AC[/tex].
Por otra parte, sean [tex]M[/tex],[tex]N[/tex] los puntos medios de [tex]AE[/tex] y [tex]BE[/tex], respectivamente. [tex]MN[/tex] es paralela media del [tex]AC[/tex]. Veamos además que [tex]M\in O_1F[/tex], dado que [tex]O_1F[/tex] es la mediatriz de [tex]AE[/tex], y lo análogo sucede con [tex]N[/tex]. Sea [tex]K[/tex] el punto medio de [tex]MN[/tex]. La homotecia de centro [tex]E[/tex] y razón [tex]2[/tex] transforma el punto [tex]K[/tex] en el punto [tex]F[/tex], de donde es directo que [tex]E,K,F[/tex] son colineales. Finalmente la homotecia de centro [tex]F[/tex] y razon [tex]FO_1[/tex] transforma al punto [tex]K[/tex] en el punto [tex]L[/tex], de donde obtenemos que [tex]F,K,L[/tex] son colineales. Por lo tanto [tex]F,L,E[/tex] son colineales.
