Mi primer propuesto de colinealidad

elfantasma

Sea[/i] [tex]ABC[/tex] [i]un triángulo acutángulo[/i], [tex]D,E[/tex] [i]puntos al azar en los lados[/i] [tex]AB[/tex] y [tex]AC[/tex], [i]resp. Construya dos circunferencias de diámetros[/i] [tex]BE[/tex] [i]y[/i] [tex]CD[/tex][i], que se cortan en los puntos[/i] [tex]M[/tex] [i]y[/i] [tex]N[/tex][i]. Pruebe que los puntos[/i] [tex]M, N[/tex] [i]y el ortocentro del[/i] [tex]ABC[/tex] [i]son colineales.

pedanticanarchy

Sea K la proyeccion de B sobre CA, R la proyeccion de C sobre AB, y H el ortocentro del ABC. Como CRD=90 se tiene que R pertenece a la circunferencia de diametro CD, analogamente K pertence a la circunferencia de diametro BE. Tambien como CKRB es ciclico se tiene que CH.HR=HK.HB, luego H es equipotente a ambas circunferencias, entonces H vive en el eje radical de ellas, i.e M,N y H son colineales