Creo que seguire un hint que vi por ahi :
Sea [tex]p(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-6x^2+9x-abc[/tex] que tienes sus tres raices en los reales [tex]a,b,c[/tex], como [tex]p\in\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R})[/tex] entonces usaremos indiscriminadamente el teorema del valor intermedio sin argumentar nada. Con esto notemos que [tex]p'(x)=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)[/tex] entonces [tex]p(x)[/tex] es creciente en [tex](-\infty,1)[/tex] y [tex](3,+\infty)[/tex], decreciente en [tex](1,3)[/tex]. De ahi es directo que [tex]b\in [1,3][/tex] y que [tex]c\in[3,+\infty)[/tex].
Tenemos que [tex]p(a)=a^3-6a^2+9a-abc=0[/tex](*), si [tex]a=0[/tex] entonces [tex]bc=9[/tex] y [tex]b+c=6[/tex] luego [tex]b=c=3[/tex] contradiccion. Luego de (*) vemos que [tex](a-3)^2=bc[/tex] y simetricamente tenemos que [tex](b-3)^2=ac[/tex] y [tex](c-3)^2=ab[/tex] de donde tenemos directamente que [tex]a>0[/tex].
Ahora, [tex]p(0)=-abc 0[/tex] y [tex]p(3)=p(0)<0[/tex] entonces [tex]b\in(1,3)[/tex] y [tex]c\in(3,4)[/tex], es decir, [tex]0
