La respuesta que le di yo, ya que me explicaste un poco por msn xd
Denotemos por [tex]\alpha=2+\sqrt{3}[/tex]. Vemos que [tex]\alpha[/tex] es raiz del polinomio [tex]p(X)=X^2-4X+1[/tex], entonces si [tex]\beta=2-\sqrt{3}[/tex] la otra raiz del polinomio entonces definimos [tex]S_n=\alpha^n +\beta^n[/tex]. Notemos que [tex]\alpha^2=4\alpha-1[/tex] entonces [tex]\alpha^n=4\alpha^{n-1}-\alpha^{n-2}[/tex] y simetricamente para la otra raiz [tex]\beta^n=4\beta^{n-1}-\beta^{n-2}[/tex], así
[center][tex]S_n=\alpha^n+\beta^n=4(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})-\alpha^{n-2}-\beta^{n-2}=4S_{n-1}-S_{n-2}[/tex][/center]
Como es facil verificar que los primeros terminos son enteros, entonces [tex]S_n\in\mathbb{Z}[/tex], es decir [tex]\alpha^n+\beta^n\in\mathbb{Z}[/tex] entonces
[center][tex]\alpha^n+\beta^n=\lfloor \alpha^n\rfloor +\lfloor\beta^n\rfloor+\{\alpha^n\}+\{\beta^n\}[/tex][/center]
Pero [tex]0<\beta<1[/tex] entonces [tex]\alpha^n+\beta^n=\lfloor \alpha^n\rfloor+\{\alpha^n\}+\{\beta^n\}[/tex] de donde se deduce directamente que [tex]\{\alpha^n\}+\{\beta^n\}=1[/tex] es decir [tex]\alpha^n+\beta^n=\lfloor\alpha^n\rfloor+1[/tex] y con esto concluimos lo pedido .
Este es un metodo bien general que sirve no solo para este caso.
