Sean [tex]F[/tex] y [tex]T[/tex] los pies de las perpendiculares desde [tex]D[/tex] y [tex]E[/tex] hacia el lado [tex]AB[/tex]. Demostraremos que [tex]H[/tex] es punto medio de [tex]FT[/tex]. Para esto, note que [tex]CD=DF[/tex] y [tex]CE=ET[/tex], entonces vamos a tener que [tex]FDCA[/tex] y [tex]TECB[/tex] son deltoides, entonces concluimos que las rectas [tex]AD[/tex] y [tex]BE[/tex] son simetrales de los segmentos [tex]CF[/tex] y [tex]CT[/tex], es decir, el punto [tex]I[/tex] es el circuncentro del triángulo [tex]CFT[/tex], concluyendo que [tex]IF=IT[/tex], y como [tex]IH[/tex] es perpendicular a[tex]FT[/tex], y el triángulo [tex]IFT[/tex] es isosceles, demostramos que [tex]H[/tex] es punto medio de [tex]FT[/tex]. Sea [tex]S[/tex] la circunferencia de centro [tex]D[/tex] y radio [tex]CD=DF=r[/tex]. Definimos analogamente la circunferencia [tex]K[/tex] de centro [tex]E[/tex] y radio [tex]CE=ET=R[/tex]. Nos basta demostrar que el punto [tex]H[/tex] está sobre el eje radical de [tex]S[/tex] y [tex]K[/tex]. Para esto note que por el Teorema de Pitágoras se cumple que [tex]FH^2+DF^2=DH^2 \Rightarrow FH^2=DH^2-r^2[/tex] , [tex]TH^2+ET^2=EH^2 \Rightarrow TH^2=EH^2-R^2[/tex] , pero como H es punto medio de FT tenemos que [tex]FH=HT \Rightarrow FH^2=HT^2[/tex] y por las relaciones anteriores [tex]DH^2-r^2=EH^2-R^2[/tex], esto nos indica que [tex]H[/tex] tiene la misma potencia con respecto a [tex]S[/tex] y [tex]K[/tex], demostrando lo pedido [tex]\displaystyle \blacksquare[/tex]
Nota: En un rato más arreglo el orden de la solución... Saludos !!!
