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5ª Olimpíada Matemática Rioplatense
Puerto Iguazú, Argentina, 1996
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Primer Nivel
[size=100]Problema 1. Escribir el mayor número natural que verifique simultáneamente:
[tex]\bullet[/tex] Sus dígitos son sólo 1, 2, 3 y 4 (se pueden repetir);
[tex]\bullet[/tex] Siempre que en dos posiciones distintas ([tex]i[/tex] y [tex]j[/tex]) figure el mismo dígito, en las posiciones inmediatamente a la derecha de ellas ([tex]i+1[/tex], [tex]j+1[/tex]) figuran dígitos distintos entre sí.
Explica por qué no hay un número natural mayor que el que tú has escrito, con las condiciones anteriores.
Problema 2. Dos polígonos regulares de lado 1 se llaman amigos si:
[tex]\bullet[/tex] Tienen un lado en común que los deja en semiplanos opuestos:
[tex]\bullet[/tex] Los dos lados, uno de cada polígono, que concurren en un vértice del lado común, son lados de un triángulo equilátero
Hallar todos los pares de polígonos amigos.
Problema 3. Ana y Celia juegan de la siguiente manera: Ana debe colorear todos los puntos de una circunferencia en rojo y azul. Celia debe elegir tres puntos en la circunferencia coloreada que determinen un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 50º y 100º. Celia gana si ese triángulo tiene los tres vértices del mismo color (rojo o azul). Ana gana en caso contrario. ¿Puede Ana colorear la circunferencia de modo que Celia no pueda ganar? En caso negativo explica por qué. En caso afirmativo muestra una coloración.
Problema 4. Con dos pirámides iguales de base cuadrada y todas sus aristas (lados) iguales se forma un octaedro regular, pegando entre sí las dos bases.
En cada arista del octaedro se marcan dos puntos que las dividen en tres segmento iguales. Los 24 puntos marcados son los vértices de un nuevo poliedro, que resulta recortar seis pequeñas pirámides iguales, una por cada vértice del octaedro. ¿Cuántas diagonales interiores tiene el nuevo poliedro?
Nota: Llamamos diagonal interior de un poliedro a todo segmento que une dos vértices y no está contenido en ninguna cara.
Problema 5. Una circunferencia tiene pintados de rojo tres puntos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex], en el sentido de las agujas del reloj. Pintaremos de rojo otros 1996 puntos de la siguiente manera:
Recorremos la circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, saliendo de [tex]C[/tex]. Pasamos por un punto pintado ([tex]A[/tex]) y pintamos [tex]P_1[/tex] en el punto medio del arco [tex]\widehat{AB}[/tex]; seguimos recorriendo la circunferencia en el mismo sentido, pasamos por dos puntos pintados ([tex]B[/tex] y [tex]C[/tex]), y pintamos [tex]P_2[/tex] en el punto medio del arco [tex]\widehat{CA}[/tex] ; a continuación pasamos por tres puntos pintados ([tex]A[/tex], [tex]P_1[/tex] y [tex]B[/tex]) y pintamos [tex]P_3[/tex] en el punto medio del arco [tex]\widehat{BC}[/tex]; y así sucesivamente hasta que, después de haber pintado [tex]P_{1995}[/tex], pasamos por 1996 puntos pintados y pintamos [tex]P_{1996}[/tex] en el punto medio del arco que corresponda. Determinar cuántos de los 1996 puntos se pintaron en cada uno de los arcos [tex]\widehat{AB}[/tex], [tex]\widehat{BC}[/tex] y [tex]\widehat{CA}[/tex].
Problema 6. En un rectángulo [tex]ABCD[/tex], el punto medio del lado [tex]CD[/tex] es [tex]F[/tex], y [tex]E[/tex] es un punto del lado [tex]BC[/tex] tal que [tex]AF[/tex] es bisectriz del ángulo [tex]\angle{EAD}[/tex]. Demostrar que [tex]AF[/tex] es perpendicular a [tex]EF[/tex].[/size]
