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5ª Olimpíada Matemática Rioplatense
Puerto Iguazú, Argentina, 1996
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Segundo Nivel
[size=100]Problema 1. Líneas Aéreas Rioplatense conecta todas las ciudades del país de "La Plata" de manera no necesariamente directa. Se denomina capacidad[/i] de una ciudad al número de empleados de Líneas Aéreas Rioplatense que hay en ella, y [i]trucha a cada ciudad cuya capacidad es inferior a la parte entera del promedio de las capacidades de las ciudades con las que está conectada directamente.
Para mejorar el servicio, Líneas Aéreas Rioplatense contrata un inspector cuyo trabajo consiste en elegir cada día una ciudad trucha y aumentar su capacidad para que sea igual a la parte entera arriba indicada.
El inspector sabe que conservará su empleo mientras queden ciudades truchas. Demostrar que algún día será despedido.
Problema 2. Sea [tex]z[/tex] un número entero. se define la sucesión [tex]x_n[/tex] de la siguiente manera:
Encontrar el menor entero positivo [tex]z[/tex] para el cual [tex]x_1,[/tex] [tex]x_2[/tex], [tex]x_3[/tex], ... , [tex]x_{1996}[/tex] son todos números enteros.
Problema 3. Una circunferencia [tex]S[/tex] se encuentra inscrita en un cuadrilátero [tex]ABCD[/tex], con el lado [tex]AB[/tex] paralelo al lado [tex]CD[/tex]. Sean [tex]M[/tex] y [tex]N[/tex] los puntos de tangencia de [tex]S[/tex] con [tex]AB[/tex] y [tex]CD[/tex] respectivamente. Si [tex]X[/tex] es el punto de intersección de [tex]AN[/tex] con [tex]DM[/tex] e [tex]Y[/tex] el de [tex]BN[/tex] con [tex]MC[/tex], encontrar el cuadrilátero [tex]ABCD[/tex] para el cual el área del cuadrilátero [tex]MXNY[/tex] es máxima.
Nota: Los lados del cuadrilátero [tex]ABCD[/tex] son [tex]AB[/tex], [tex]BC[/tex], [tex]CD[/tex] y [tex]DA[/tex].
Problema 4. Determinar la cifra de las unidades del número [tex]\displaystyle{\frac{10^{1996}}{10^{499}+1997}}[/tex].
Problema 5. En un tablero cuadrado que tiene un número par de casillas y está pintado como un tablero de ajedrez se coloca un número en todas las casillas con las siguientes reglas:
[tex]\bullet[/tex] En cada casilla blanca se escribe 0 o 1, de modo que haya la misma cantidad de casillas blancas con 0 que con 1.
[tex]\bullet[/tex] En cada casilla negra se escribe la suma de los números que hay en las casillas blancas vecinas.
Si se ponen los números en el tablero de modo que la suma de todos los números escritos sea la menor posible, la suma es [tex]m[/tex]. Si se ponen los números en el tablero de modo que la suma de todos los números escritos sea la mayor posible, la suma es [tex]m+1996[/tex]. Hallar las dimensiones del tablero.
Problema 6. Dado un tetraedro [tex]ABCD[/tex], determinar todos los puntos interiores [tex]P[/tex] tales que el producto de las distancias de [tex]P[/tex] a cada una de las caras de [tex]ABCD[/tex] sea máximo.[/size]
