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6ª Olimpíada Matemática Rioplatense
Mendoza, Argentina, 1997
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Primer Nivel
[size=100]Problema 1. En un cuadrado [tex]ABCD[/tex] de área 1, [tex]E[/tex] es el punto medio de [tex]DC[/tex], [tex]G[/tex] es el punto medio de [tex]AD[/tex], [tex]F[/tex] es el punto del lado [tex]BC[/tex] tal que [tex]3CF=FB[/tex] y [tex]O[/tex] es el punto de intersección entre [tex]FG[/tex] y [tex]AE[/tex]. Encontrar el área del triángulo [tex]EFO[/tex].
Problema 2. Ignacio escribió un número entero mayor que cero. Usando exactamente los dígitos del número de Ignacio, pero en otro orden, Sofía escribió otro número que resultó ser igual a 1/3 del número de Ignacio.
(a) ¿Cuál es el menor número que pudo haber escrito Ignacio?
(b) ¿Qué número pude haber escrito Ignacio, si sabemos que tiene más de 1997 dígitos y no termina en 0?
Problema 3. Hay un triángulo [tex]T[/tex] dibujado en una hoja de papel blanco y se dispone de dos hojas de papel celeste. En cada hoja de papel celeste está permitido dibujar un solo triángulo, semejante a [tex]T[/tex] (es decir con ángulos iguales a los de [tex]T[/tex]), pero de menor tamaño, y luego recortarlo. ¿Es siempre posible obtener dos triángulos de papel celeste (tal vez distintos entre sí) y ubicarlos sobre la hoja blanca, de modo que el triángulo [tex]T[/tex] quede completamente tapado? Justifique.
Aclaración: los triángulos celestes pueden superponerse o no, y pueden sobresalir del triángulo dibujado o no.
Problema 4. Un número "divi[/i]" es aquel que es divisible por el número de divisores positivos que tiene. Por ejemplo, el 8 es divi porque tiene 4 divisores (1, 2, 4, 8) y el cuatro divide al 8. A los números divi que son cuadrados perfectos se los llama "[i]dividivi". Hallar todos los números dividivi menores que 1997.
Problema 5. En un grupo de personas, se sabe que cada una de ellas conoce exactamente a 101 personas del grupo.
Aclaración: se supone que si A conoce a B, entonces B conoce a A.
Problema 6. Agustina y Santiago juegan al siguiente juego sobre una hoja rectangular:
[tex]\bullet[/tex] Agustina dice un número natural n.
[tex]\bullet[/tex] Santiago marca n puntos sobre la hoja.
[tex]\bullet[/tex] Agustina elige algunos de los puntos marcados por Santiago.
[tex]\bullet[/tex] Santiago gana el juego si logra dibujar un rectángulo de lados paralelos a los bordes de la hoja, que contenga todos los puntos elegidos por Agustina y no contenga ninguno de los puntos restantes. De lo contrario, Agustina gana el juego.
¿Cuál es el menor número que puede decir Agustina para asegurarse de poder ganar el juego independientemente de cómo haya dibujado Santiago los puntos? Justificar.[/size]
