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6ª Olimpíada Matemática Rioplatense
Mendoza, Argentina, 1997
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Segundo Nivel
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Problema 1. Sea [tex]n[/tex] un entero, [tex]n\geq 2[/tex]. Cada uno de los cuadros de un tablero [tex]n\times n[/tex] se colorea de blanco, amarillo o verde de acuerdo con los siguientes criterios:
(i) los cuadros en las posiciones [tex](i, i)[/tex] para [tex]1\leq i\leq n[/tex] se colorean de blanco;
(ii) los cuadros en las posiciones [tex](i, j)[/tex] para [tex]i\neq j[/tex] se colorean de amarillo o verde;
(iii) para cualesquiera [tex]i[/tex], [tex]j[/tex], [tex]k[/tex] tales que los cuadros en las posiciones [tex](i, j)[/tex] y [tex](j, k)[/tex] son del mismo color, el cuadro en la posición [tex](i, k)[/tex] también es de ese mismo color.
(a) Muestre que existe una fila que posee [tex]n-1[/tex] cuadros amarillos.
(b) Muestre que filas distintas poseen cantidades distintas de cuadros amarillos.
Aclaración: el cuadro en la posición [tex](i, j)[/tex] es el que está en la [tex]i[/tex]-ésima fila y en la [tex]j[/tex]-ésima columna.
Problema 2. Demostrar que existe un único conjunto no vacío [tex]S[/tex] de enteros con las siguientes propiedades:
(i) Si [tex]998x + 999y \in S[/tex] para algún par de enteros [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], entonces [tex]998y + 999x\in S[/tex]
(ii) Si [tex]1\leq |c|\leq 998[/tex], entonces [tex]c \not\in S[/tex].
Problema 3. Sea [tex]ABCD[/tex] un tetraedro regular, [tex]P[/tex] y [tex]Q[/tex] puntos distintos en los planos [tex]BCD[/tex] y [tex]ACD[/tex] respectivamente. Demostrar que existe un triángulo cuyos lados miden [tex]AP[/tex], [tex]PQ[/tex] y [tex]QB[/tex].
Problema 4. Calcular la suma
[center][tex]\displaystyle{\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}} + \cdots + \sqrt{1+\frac{1}{999^2}+\frac{1}{1000^2}}}[/tex].[/center]
Problema 5. Sea [tex]S[/tex] un conjunto infinito de puntos del plano con la siguiente propiedad: Si [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] son puntos distintos de [tex]S[/tex], entonces la distancia desde [tex]A[/tex] hasta la recta [tex]BC[/tex] es un número entero. Demostrar que todos los puntos de [tex]S[/tex] están en una misma recta.
Problema 6. Dada una sucesión infinita de dígitos [tex]a_1[/tex], [tex]a_2[/tex], [tex]a_3[/tex], ... , [tex]a_n[/tex], ... , se intercalan infinitos signos [tex]\uparrow[/tex] en la sucesión y para cada par de signos [tex]\uparrow[/tex] consecutivos se considera el número formado por los dígitos comprendidos entre ambos signos [tex]\uparrow[/tex].
(a) Sea [tex]\mathbb{N}[/tex] el conjunto de los números naturales. Demostrar que cualesquiera sean los conjuntos [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex] tales que
[tex]A\cup B =\mathbb{N}[/tex] y [tex]A\cap B = \emptyset[/tex], siempre es posible intercalar los signos [tex]\uparrow[/tex] de tal manera que los números así obtenidos pertenezcan todos a [tex]A[/tex] o pertenezcan todos a [tex]B[/tex].
(b) Demostrar que cualesquiera sean los conjuntos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] y [tex]C[/tex] tales que [tex]A\cup B\cup C = \mathbb{N}[/tex], donde [tex]A\cap B =\emptyset[/tex], [tex]A\cap C =\emptyset[/tex] y [tex]B\cap C = \emptyset[/tex], siempre es posible intercalar los signos [tex]\uparrow[/tex] de tal manera que los números así obtenidos pertenezcan todos a [tex]A[/tex] o pertenezcan todos a [tex]B[/tex] o pertenezcan todos a [tex]C[/tex].
Aclaración: Puede haber términos de la sucesión a la izquierda del primer signo [tex]\uparrow[/tex]. Éstos no están comprendidos entre dos signos [tex]\uparrow[/tex].[/size]
