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6ª Olimpíada Matemática Rioplatense
Mendoza, Argentina, 1997
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Tercer Nivel
[size=100]Problema 1. Hallar todos los enteros positivos [tex]n[/tex] con la siguiente propiedad: existe un polinomio [tex]P_n(x)[/tex] de grado [tex]n[/tex], con coeficientes enteros, tal que [tex]P_n(0)=0[/tex] y [tex]P_n(x)=n[/tex] para [tex]n[/tex] valores enteros y distintos de [tex]x[/tex].
Problema 2. Considerar un prisma, no necesariamente recto, cuya base es un rombo [tex]ABCD[/tex] con lado [tex]AB=5[/tex] y diagonal [tex]AC=8[/tex]. Una esfera de radio [tex]r[/tex] es tangente al plano [tex]ABCD[/tex] en [tex]C[/tex] y tangente a las aristas [tex]AA_1[/tex], [tex]BB_1[/tex] y [tex]DD_1[/tex] del prisma. Calcular [tex]r[/tex].
Problema 3. Demostrar que hay infinitos enteros positivos [tex]n[/tex] tales que la cantidad de divisores positivos que tiene [tex]2n-1[/tex] es mayor que [tex]n[/tex].
Problema 4. Las circunferencias [tex]c_1[/tex] y [tex]c_2[/tex] son tangentes interiormente a la circunferencia [tex]c[/tex] en los puntos [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex], respectivamente, como se ve en la figura. La tangente interior común a [tex]c_1[/tex] y [tex]c_2[/tex] toca a estas circunferencias en [tex]P[/tex] y [tex]Q[/tex], respectivamente. Demostrar que las rectas [tex]AP[/tex] y [tex]BQ[/tex] intersecan a la circunferencia [tex]c[/tex] en puntos diametralmente opuestos.
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Problema 5.Sean [tex]x_1[/tex], [tex]x_2[/tex], ... , [tex]x_n[/tex] números no negativos [tex]n\geq 3[/tex] tales que [tex]x_1 + x_2 + ... + x_n = 1[/tex]. Determinar el máximo valor posible de la expresión [tex]x_1x_2 + x_2x_3 + ... + x_{n-1}x_n[/tex].
Problema 6. Sea [tex]\mathbb{N}[/tex] el conjunto de los números enteros positivos.
Determinar si existe una función [tex]f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}[/tex] tal que [tex]f(f(n))=2n[/tex], para todo [tex]n\in\mathbb{N}[/tex].[/size]
