[center]
6ª Olimpíada Matemática Rioplatense
Mendoza, Argentina, 1997
[/center]
Nivel A
[size=100]Problema 1. Hay 1997 números escritos alrededor de una circunferencia: 1996 son 0 y uno de ellos es 1. La única operación permitida es elegir un número y modificar sus dos vecinos, reemplazando 0 por 1 y 1 por 0.
(a) Demostrar que es posible, usando varias veces la operación permitida, llegara a tener alrededor de la circunferencia todos los números iguales a 1.
(b) Decidir si con 1998 números, uno de ellos igual a 1 y los restantes 1997 iguales a 0, es posible llegar al resultado de la parte anterior.
Problema 2. Demostrar que no es posible dibujar dos triángulos de área 1 dentro de un círculo de radio 1 de manera que los triángulos no tengan puntos en común.
Problema 3. Al concierto del Instituto Rioplatense de la Matemática asistieron 1997 personas entre peruanos, bolivianos, paraguayos y venezolanos. Cada persona pagó su boleto de entrada la cantidad entera comprendida entre $1 y $499, inclusive, que voluntariamente quiso aportar.
(a) Demostrar que hubo al menos dos personas de la misma nacionalidad que pagaron lo mismo.
(b) Se sabe que se vendieron boletos de cada uno de los precios, que el mayor número de veces que se repitió el precio de un boleto fue 10 y que la recaudación fue la mínima posible. ¿Cuántos boletos de cada precio se vendieron?
Problema 4. Un tablero cuadrado de [tex]4\times 4[/tex] está dividido en cuadraditos de [tex]1\times 1[/tex]. Hay un número secreto escrito en cada cuadradito de [tex]1\times 1[/tex]. Sólo se sabe que la suma de los cuatro números de cada fila es igual a 1, la suma de los cuatro números de cada columna es igual a 1 y la suma de los cuatro números de cada diagonal es igual a 1. ¿Es posible, con esta información, determinar la suma de los cuatro números de las esquinas y la suma de los cuatro números de los cuatro cuadraditos centrales? Si la respuesta es afirmativa, determinar la suma, si es negativa, explicar por qué.
Problema 5. ¿Cuál es el menor múltiplo de 99, cuyos dígitos suman 99 y que empieza y termina con 97?
Problema 6. Un turista, de visita en Mendoza, decide hacer un paseo por la ciudad. El paseo se realiza por etapas. Cada etapa consta de 3 segmentos, cada uno de ellos de longitud 100m, y dos giros de [tex]60^\circ[/tex] a la derecha, como se muestra en la figura. Entre el último segmento de una etapa y el primero de la siguiente, se hace un giro a la izquierda de [tex]60^\circ[/tex]. ¿A qué distancia estará el turista del punto inicial después de haber recorrido 1997 etapas?
[center]
[/center][/size]
