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1ª Olimpíada Matemática Rioplatense

San Fernando, Argentina, 1990

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Segundo Nivel

Problema 1. Hallar todos los números naturales [tex]n[/tex] tales que [tex]2^n+3^n[/tex] es múltiplo de [tex]7[/tex].

Problema 2. Sea [tex]x[/tex] un número natural e [tex]y[/tex] el número que se obtiene sacando a [tex]x[/tex] el primér dígito de la izquierda y colocándolo como último dígito. Hallar el mínimo valor posible de [tex]x[/tex] tal que [tex]\frac{x}{2}=y[/tex].

Problema 3. Sea [tex]ABC[/tex] un triángulo rectángulo en [tex]A[/tex]. Sea [tex]X[/tex] el pie de la altura correspondiente a [tex]A[/tex] y sea [tex]Y[/tex] el punto medio de [tex]XC[/tex]. Sobre la prolongación del lado [tex]AB[/tex] sea [tex]D[/tex] el punto tal que [tex]AB=BD[/tex]. Demostrar que la recta determinada por [tex]D[/tex] y [tex]X[/tex] es perpendicular a [tex]AY[/tex].

2 años más tarde

Solucion P1:

Notemos que la sucesion [tex]2^n[/tex] en [tex](mod.7)[/tex] es de periodo [tex]3[/tex] e igual a {[tex]2,4,1,...[/tex]} y la sucesion [tex]3^n[/tex] es de periodo [tex]6[/tex] e igual a {[tex]3,2,6,4,5,1,...[/tex]}, luego la sucesion [tex]2^n+3^n[/tex] es de periodo [tex]6[/tex] e igual a {[tex]5,6,0,6,2,2...[/tex]},de esto se sigue que los valores de [tex]n[/tex] que cumplen lo pedido son los de la forma [tex]6k+3[/tex] con [tex]k \in \mathbb{N}[/tex].

Saludos !!

7 años más tarde
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